Характеристична функція (індикаторна функція, індикатор) підмножини  — функція, визначена на множині , яка визначає належність елемента підмножині .

Графік характеристичної функції двовимірної підмножини квадрата.

ОзначенняРедагувати

Нехай   — деяка підмножина довільної множини  . Функцію  , означену таким чином:

 

називають характеристичною функцією або індикатором множини  .

Альтернативними позначеннями індикатора множини   є:   або  , а іноді навіть  . Нотація Айверсона[en] дозволяє позначення  .

(Грецька літера   походить від початкової букви грецького написання слова характеристика.)

Замітка. Позначення   може означати тотожну функцію.

Основні властивостіРедагувати

Відображення, яке пов'язує підмножину   з її індикатором  , є ін'єкцією. Якщо   і   — дві підмножини  , то

 
 
 
 

Загальніше, припустімо, що   — множина підмножин  . Ясно,[Кому?] що для довільного  

  — добуток нулів та одиниць. Цей добуток набуває значення 1 для тих  , які не належать жодній множині  , і 0 в іншому разі. Тому
 

Розкладаючи ліву частину, отримуємо

 

де   — потужність  . Це — одна з форм запису принципу включення-виключення. Отже, індикатор — корисне позначення в комбінаториці, яке використовують також і в інших областях, наприклад в теорії ймовірностей: якщо   — ймовірнісний простір з ймовірнісною мірою  , а   — вимірна множина, то індикатор   стає випадковою величиною, чиє математичне очікування дорівнює ймовірності  

 

Дисперсія та коваріація для цієї випадкової змінної визначаються за формулами:

 
 

Зауваження щодо позначення та термінологіїРедагувати

Позначення   також використовують для позначення  , характеристичної функції[en] в опуклому аналізі[en], яку означують як обернене до стандартного означення характеристичної функції.

Термін «характеристична функція» має незалежне значення в класичній теорії ймовірностей. З цієї причини традиційні ймовірнісники[en] використовують термін індикаторна функція майже ексклюзивно, тоді як математики в інших областях для опису функції, що вказує на приналежність до множини, використовують скоріше термін характеристична функція.

У нечіткій логіці та сучасній багатозначній логіці предикати є характеристичними функціями розподілу ймовірності. Тобто, строгу істинну/хибну оцінку предикату замінюють величиною, що інтерпретують як степінь істинності.

Середнє значення, дисперсія та коваріаціяРедагувати

Для заданого ймовірнісного простору  , та  , індикаторну випадкову змінну   означують як  , якщо  , інакше  

Середнє значення
 .
Дисперсія
 .
Коваріація
 .

Характеристична функція в теорії рекурсії, представляльна функція Геделя та КлініРедагувати

Курт Гедель описав представляльну функцію[1][2][3] (англ. representing function) у своїй праці 1934 року «Про нерозв'язні твердження формальних математичних систем» (цю працю опубліковано на стор. 41-74 книжки «Нерозв'язне», «The Undecidable», під редагуванням Мартіна Девіса):

«Кожному класові чи відношенню   повинна відповідати представляльна функція   , якщо   та  , якщо  .» (cтор. 42; «~» позначує логічне обернення, тобто «НЕ»).

Стівен Кліні (1952) (cтор. 227) запропонував таке саме означення в контексті примітивно-рекурсивних функцій як функції   від предикату  , що набуває значення  , якщо предикат є істинним, та  , якщо предикат є хибним.

Наприклад, оскільки добуток характеристичних функцій  , якщо будь-яка з ціх функцій дорівнює  , то вона відіграє роль логічного АБО: ЯКЩО   АБО   АБО . . . АБО   ТОДІ їх добуток дорівнює  . Те, що видається сучасному читачеві як логічне обернення представляльної функції, тобто, що представляльна функція дорівнює  , коли функція   є «істинною» чи «вдоволеною», відіграє корисну роль в означенні Кліні логічних функцій «OR», «AND», та «IMPLY» (стор. 228), обмежених (стор. 228) та необмежених (стор. 279 і далі) μ-операторів (Кліні, 1952), та функції «CASE» (стор. 229).

Характеристична функція в теорії нечітких множинРедагувати

В класичній математиці характеристичні функції множин набувають лише значень 1 (елемент) та 0 (не елемент). В теорії нечітких множин характеристичні функції узагальнюють до набування значень з дійсного одиничного проміжку [0, 1], або, загальніше, з деякої алгебри або структури[en] (яка зазвичай повинна бути щонайменше частково впорядкованою множиною або ґраткою). Такі узагальнені характеристичні функції частіше називають функціями належності, а відповідні «множини» називаються нечіткими множинами. Нечіткі множини моделюють поступову зміну ступеня істинності[en], що спостерігається у багатьох предикатів реального світу, таких як «високий», «теплий» тощо.

ПриміткиРедагувати

  1. representing // Англійсько-український словник з математики та інформатики / уклад. Є. Мейнарович, М. Кратко. — 2010.
  2. representing // Англійсько-українсько-англійський словник наукової мови (фізика та споріднені науки). Частина І англійсько-українська / уклад. О. Кочерга, Є. Мейнарович. — 2010.
  3. представляльний // Англійсько-українсько-англійський словник наукової мови (фізика та споріднені науки). Частина ІІ українсько-англійська / уклад. О. Кочерга, Є. Мейнарович. — 2010.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати