Характеристична функція випадкової величини

Під характеристи́чною фу́нкцією $\psi (t)$ випадкової величини $X$ розуміють математичне сподівання випадкової величини $e^{itX}$ :

\psi (t)=M(e^{itX})\qquad (1)

,

де $t$ — дійсний параметр.

Якщо $F(x)$ — функція розподілу $\!X$ , то

\psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,dF(x)

У випадку дискретного розподілу

\psi (t)=\sum _{k=0}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}

(ряд Фур'є з коефіцієнтами $p_{k}$ ). У випадку неперервного розподілу

\psi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f(x)dx\,\!

(перетворення Фур'є)

Дискретні та абсолютно неперервні випадкові величини

Коли випадкова величина $X$ дискретна, тобто $\mathbb {P} (X=x_{k})=p_{k},\;k=1,2,\ldots$ , то

\phi _{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }e^{itx_{k}}\,p_{k}

.

Приклад. Нехай $X$ має розподіл Бернуллі. Тоді

\phi _{X}(t)=e^{it\cdot 1}\cdot p+e^{it\cdot 0}\cdot q=pe^{it}+q

.

Коли $X$ — це абсолютно неперервна випадкова величина, тобто має щільність $f_{X}(x)$ , то

\phi _{X}(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{itx}\,f_{X}(x)\,dx

.

Приклад. Нехай $X\sim U[0,1]$ має стандартний неперервний рівномірний розподіл. Тоді

\phi _{X}(t)=\int \limits _{0}^{1}e^{itx}\cdot 1\,dx=\left.{\frac {e^{itx}}{it}}\right\vert _{0}^{1}={\frac {e^{it}-1}{it}}

.

Властивості характеристичних функцій

Для будь-якої характеристичної функції $\psi (t)$

\psi (0)=1\qquad |\psi (t)|\leq 1\qquad (-\infty <t<\infty )

,

Якщо $Y=aX+b\;$ з константами $a$ і $b$ , то $\psi _{Y}(t)=\psi _{X}(at)e^{i\;b\;t}$ ( $\psi _{X}$ — характеристична функція $X$ ).

Якщо $X$ є $n$ раз диференційованою по $t$ , то при $k\leq n$

\psi ^{(k)}(0)=i^{k}MX^{k}.

$\psi (t)$ є рівномірно неперервною функцією на всьому просторі.

Якщо $X_{1},\dots ,X_{n}$ - незалежні випадкові величини, та $a_{1},\dots ,a_{n}$ - деякі константи, тоді

\psi _{a_{1}X_{1}+\cdots +a_{n}X_{n}}(t)=\psi _{X_{1}}(a_{1}t)\cdots \psi _{X_{n}}(a_{n}t).

Характеристична функція є самоспряженою: $\psi _{\xi }(-t)=\psi _{-\xi }(t)={\overline {\psi _{\xi }(t)}}$

Випадкова величина $\xi$ є симетричною тоді і лише тоді коли характеристична функція $\psi _{\xi }(t)$ є дійснозначною.

Формули перетворення і теорема єдиності

Нехай $F(x)$ — функція розподілу, а $\psi (t)$ — характеристична функція випадкової величиини $X$ . Якщо $x_{1}$ , $x_{2}$ — точки неперервності $F(x)$ , то

F(x_{2})-F(x_{1})={1 \over {2\pi }}\lim _{c\to \infty }\int _{\infty }^{\infty }{{e^{itx_{1}}-e^{itx_{2}}} \over it}\ \psi (t)dt

Якщо $\!X$ — неперервна, а $\!f(x)$ — густина $\!F(x)$ , то спрощується

f(x)={1 \over {2\pi }}\int _{\infty }^{\infty }e^{itx}\psi (t)\;dt

Таким чином, густина отримується з характеристичної функції зворотним перетворенням Фур'є.

з формули перетворення (рос. обращения) випливає, що функція розподілу однозначно визначається її характеристичною функцією.

Якщо, наприклад, якимось чином для $X$ отримано характеристичну функцію $e^{iat-{\sigma ^{2}t^{2} \over 2}}$ , то, згідно з теоремою єдиності і $X\in N(x;a,\sigma )$

Гранична теорема для характеристичних функцій

Послідовність $\left\{F(x)\right\}$ функцій розподілу називається збіжною в основному до функції розподілу $F(x)$ , якщо у всіх точках неперервності

\lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)

У дискретному випадку збіжність в основному $F_{n}(x)$ до $F(x)$ , означає, що відповідні функції збігаються: $p_{k}^{n}\rightarrow p_{k}$ для всіх $k$ .

У неперервному випадку для збіжності в основному випливає (якщо $f_{n}(x)$ неперервні) $f_{n}(x)\rightarrow f(x)$ для всіх $\!x$ .

Якщо послідовність $\left\{F_{n}(x)\right\}$ функції розподілу збігається в основному до функції розподілу ${F(x)}$ , то послідовність відповідних характеристичних функцій $\left\{\psi _{n}(t)\right\}$ збігається до ${\psi (t)}$ — характеристичної функції ${F(x)}$ . Ця збіжність рівномірна у кожному скінченному інтервалі.

Велике значення має зворотна теорема: якщо послідовність характеристичних функцій $\left\{\psi _{n}(t)\right\}$ збігається до неперервної функції $\psi (t)$ , то послідовність відповідних функцій розподілу $\left\{F_{n}(x)\right\}$ збігається до деякої функції розподілу $F(x)$ і $\psi (t)$ є характеристичною функцією $F(x)$ ).

Твірні функції

У випадку дискретних випадкових величин, які можуть приймати лише значення $0,\;1,\;\ldots$ часто замість характеристичних функцій використовують твірні функції.

Нехай $\!p_{k}$ є функцією ймовірностей деякої дискретної випадкової величини $X$ вказаного типу, а $z$ — комплексний параметр. Тоді

\phi (t)=\sum _{k}p_{k}\;z^{k}

називається твірною функцією випадкової величини $X$ . Функція $\phi (z)$ — аналітична в $|z|<1$ . Її границя при $z\rightarrow e^{it}$ дає характеристичну функцію $F(x)$ .