Ймовірнісний простір

Ймовірнісний простір — поняття, що його ввів А. М. Колмогоров в 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.

Ймовірнісний простір — це трійка $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, де

• $\Omega \$ — довільна множина, елементи якої називаються елементарними подіями, сама множина називається простором елементарних подій;
• ${\mathcal {F}}$ — сигма-алгебра підмножин $\Omega \$, званих (випадковими) подіями;
• $\mathbb {P}$ — ймовірнісна міра або ймовірність, тобто сигма-адитивна скінченна міра, така що $\mathbb {P} (\Omega )=1$.

Зауваження

• Елементарні події (елементи множини $\Omega \$), за визначенням — це результати випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один.
• Кожна випадкова подія (елемент ${\mathcal {F}}$) — це підмножина $\Omega \$. Говорять що в результаті експерименту відбулася випадкова подія $A\subset \Omega$, якщо (елементарний) результат експерименту є елементом $A$.

Вимога, що ${\mathcal {F}}$ є сигма-алгеброю підмножин $\Omega \$, дозволяє, зокрема говорити про ймовірність випадкової події, ймовірність об'єднання зліченної кількості випадкових подій, а також про ймовірність доповнення будь-якої події.

Скінченні ймовірнісні простори

Простим і часто використовуваним прикладом ймовірнісного простору є скінчений простір. Нехай $\Omega \$ — скінченна множина, що містить $\ |\Omega |=n$ елементів.

Як сигма-алгебру зручно узяти сімейство всіх підмножин $\ \Omega$. Його часто символічно позначають $\ 2^{\Omega }$. Легко показати, що число членів цього сімейства, тобто число різних випадкових подій, якраз рівне $2^{\vert \Omega \vert }$, що пояснює позначення.

Імовірність, взагалі кажучи, можна визначати довільно. Часто, проте, немає причин вважати, що один елементарний результат чим-небудь переважний за іншого. Тоді природним чином ввести ймовірність є:

$\mathbb {P} (A)={\frac {n_{a}}{n}}$,

де $A\subset \Omega$ та $\ |A|=n_{a}$ — число елементарних результатів, що належать $\ A$. Зокрема, ймовірність будь-якої елементарної події:

$\mathbb {P} (\{\omega \})={\frac {1}{n}},\quad \forall \omega \in \Omega .$

Приклад

Розглянемо експеримент з киданням урівноваженої монети. Тоді природним чином задати ймовірнісний простір буде: $\Omega =\{0,1\},\;{\mathcal {F}}=\{\{0\},\{1\},\{0,1\},\emptyset \}$ і визначити ймовірність таким чином:

$\mathbb {P} (\{0\})={\frac {1}{2}},\quad \mathbb {P} (\{1\})={\frac {1}{2}},\quad \mathbb {P} (\{0,1\})=1,\quad \mathbb {P} (\emptyset )=0.$

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)