Ймовірнісний простір
Ймовірнісний простір — поняття, що його ввів А. М. Колмогоров в 30-х роках XX століття для формалізації поняття ймовірності, яке дало початок бурхливому розвитку теорії ймовірностей як строгої математичної дисципліни.
Ймовірнісний простір — це трійка , де
- — довільна множина, елементи якої називаються елементарними подіями, сама множина називається простором елементарних подій;
- — сигма-алгебра підмножин , званих (випадковими) подіями;
- — ймовірнісна міра або ймовірність, тобто сигма-адитивна скінченна міра, така що .
Зауваження
ред.- Елементарні події (елементи множини ), за визначенням — це результати випадкового експерименту, з яких в експерименті відбувається рівно один.
- Кожна випадкова подія (елемент ) — це підмножина . Говорять що в результаті експерименту відбулася випадкова подія , якщо (елементарний) результат експерименту є елементом .
- Вимога, що є сигма-алгеброю підмножин , дозволяє, зокрема говорити про ймовірність випадкової події, ймовірність об'єднання зліченної кількості випадкових подій, а також про ймовірність доповнення будь-якої події.
Скінченні ймовірнісні простори
ред.Простим і часто використовуваним прикладом ймовірнісного простору є скінчений простір. Нехай — скінченна множина, що містить елементів.
Як сигма-алгебру зручно узяти сімейство всіх підмножин . Його часто символічно позначають . Легко показати, що число членів цього сімейства, тобто число різних випадкових подій, якраз рівне , що пояснює позначення.
Імовірність, взагалі кажучи, можна визначати довільно. Часто, проте, немає причин вважати, що один елементарний результат чим-небудь переважний за іншого. Тоді природним чином ввести ймовірність є:
- ,
де та — число елементарних результатів, що належать . Зокрема, ймовірність будь-якої елементарної події:
Приклад
ред.Розглянемо експеримент з киданням урівноваженої монети. Тоді природним чином задати ймовірнісний простір буде: і визначити ймовірність таким чином:
Джерела
ред.- Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)