Відкрити головне меню

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множин, замкнена щодо операції зліченого об'єднання. Поняття сигма-алгебри має важливе значення для визначення мір множин, в математичному аналізі та теорії ймовірностей.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Кільцем множин називається система множин, замкнена стосовно операцій об'єднання, перетину, віднімання та симетричної різниці. Довільне кільце множин містить і порожню множину.

Одиницею кільця множин   називається множина E, що належить до   і для довільної множини   виконується:

 .

σ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин   містить також їх об'єднання

 .

δ-кільцем множин називається таке кільце множин, яке разом з кожною послідовністю множин   містить також їх перетин:

 .

Таким чином, σ-алгеброю множин називається σ-кільце множин з одиницею, а δ-алгеброю множин — δ-кільце з одиницею. Однак, кожна σ-алгебра є також δ-алгеброю, і навпаки.

ВластивостіРедагувати

Для довільної непорожньої системи множин   існує неприводима (по відношенню до цієї системи) σ-алгебра  , що містить   і міститься в довільній σ-алгебрі, що містить  .

Така σ-алгебра   називається мінімальною.

ПрикладиРедагувати

Найпростішим прикладом σ-алгебри є система всіх підмножин деякої множини A.

Борелівські множини (або В-множини) це множини на числовій прямій, що належать мінімальній σ-алгебрі над сукупністю всіх сегментів  .


Прості приклади на основі множинРедагувати

Нехай X - довільна множина.

  • Сімейство множин що складається лише з порожньої множини і множини X, називається мінімальною, або тривіальною σ-алгеброю над X.
  • Булеан X, називають дискретною σ-алгеброю.

ЛітератураРедагувати

Див. такожРедагувати