Фільтрація (випадкові процеси)

Фільтра́ція в теорії випадкових процесів - це неспадна множина σ-алгебр.

Визначення

Нехай задано ймовірнісний простір $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ і підмножину дійсної прямої $T\subset \mathbb {R}$. Множина σ-алгебр $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ така, що

${\mathcal {F}}_{s}\subset {\mathcal {F}}_{t}\subset {\mathcal {F}},\quad s\leq t,\;s,t\in T$,

називається фільтрацією ймовірнісного простору.

Природна фільтрація випадкового процесу

Нехай заданий випадковий процес $\{X_{t}\}_{t\in T}$, визначений на деякому ймовірнісному просторі. Визначимо

${\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.$.

Тоді множина $\left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{t\in T}$ є фільтрацією і називається природною фільтрацією випадкового процесу $\{X_{t}\}$.

Див. також

• Марковський процес
• Мартингал.

Література

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.
• A. N. Shiryayev: Probability. Springer-Verlag, New York 1984, ISBN 3-540-90898-6.