Відкрити головне меню
Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай мається на увазі злічено-адитивна міра.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

ВизначенняРедагувати

Теорія міри і інтеграла Лебега була розроблена на початку ХХст. в зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики .

Скінчено-адитивна міраРедагувати

Нехай задано простір   з виділеним класом підмножин  , замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція   називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовільняє наступним умовам:

  1.  ;
  2. Якщо   — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із  , тобто  , то

 .

Альтернативне визначенняРедагувати

Функція множини   називається мірою, якщо:

  • область визначення   функції   є напівкільце множин.
  • значення  
  •   — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу  ,  
    буде виконуватись рівність
     

Система множин   називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена по відношеню до утворення перетинів, і якщо з приналежності до   множини   та   випливає можливість представлення множини   у вигляді об'єднання  , де   — попарно неперетинаючихся множини з  , перша з яких є задана множина  .

Злічено-адитивна міраРедагувати

Нехай задано простір   з виділеною σ-алгеброю  . Функція   називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовільняє наступним вимогам:

  1.  ;
  2. (σ-адитивність) Якщо   — злічене сімейство попарно не перетинаючихся множин з  , тобто  , то
 .

Продовження міриРедагувати

Міра   називається продовженням міри  , якщо   і для кожної   виконується рівність:

 

При цьому, для кожної міри  , заданої на деякому напівкільці   існує єдине продовження  , що має як область визначення кільце   (тобто, мінімальне кільце над  ).

ПриміткиРедагувати

  • Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
  • Якщо міра всього простору скінчена, тобто  , то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
  • На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на можину всіх його підмножин.

ПрикладиРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352. 
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. (1976). Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. с. 251. 

Див. такожРедагувати