Міра Жордана

Міра Жордана — один із способів формалізації поняття довжини, площі і $n$-вимірного об'єму в $n$-вимірному евклідовому просторі.

Побудова

Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана.

Міра Жордана $~m(\Delta )$, добутку напівінтервалів $\Delta =\prod _{i=1}^{n}[a_{i},\;b_{i})$ в $\mathbb {R} ^{n}$ визначається як добуток

$m(\Delta )=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).$

Для обмеженої множини $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ визначаються:

• зовнішня міра Жордана

  $m_{e}(E)=\inf \sum _{k=1}^{N}m(\Delta _{k}),\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\supset E$

• внутрішня міра Жордана

  $m_{i}(E)=\sup \sum _{k=1}^{N}m(\Delta _{k}),\quad \bigcup _{k}\Delta _{k}\subset E,\quad \Delta _{k}\cap \Delta _{m}=\varnothing$, якщо $\ k\neq m,$

де $\Delta _{1},\;\Delta _{2},\;\ldots ,\;\Delta _{N}$ — паралелепіпеди описаного вище виду.

Множина $~E$ називається вимірною за Жорданом, якщо $~m_{e}(E)=m_{i}(E)$. В цьому випадку міра Жордана дорівнює $~m(E)=m_{e}(E)=m_{i}(E)$.

Властивості

• Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
• Обмежена множина $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли її границя має міру Жордана рівну нулю.
• Зовнішня міра Жордана для $~E$ рівна зовнішній мірі Жордана для ${\bar {E}}$ (замикання множини $~E$) і рівна мірі Бореля ${\bar {E}}$.
• Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин, на якому міра Жордана є скінченно-адитивною функцією.

Вимірні і невимірні за Жорданом множини

Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини дорівнює 1, а внутрішня дорівнює нулю.

Література

• Peano G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887. (італ.)
• Jordan C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99. (фр.)

Див. також

• Міра Лебега
• Міра множини
• Міра Хаусдорфа
• Міра Бореля