Відкрити головне меню

ПобудоваРедагувати

 
Множина вимірна за Жорданом, якщо внутрішня міра Жордана дорівнює зовнішній мірі Жордана.

Міра Жордана   паралелепіпеда   в   визначається як добуток

 

Для обмеженої множини   визначаються:

  • зовнішня міра Жордана
     
  • внутрішня міра Жордана
     , якщо  

де   — паралелепіпеди описаного вище виду.

Множина   називається вимірною за Жорданом, якщо  . В цьому випадку міра Жордана дорівнює  .

ВластивостіРедагувати

  • Міра Жордана інваріантна щодо рухів евклідового простору.
  • Обмежена множина   вимірна за Жорданом тоді і тільки тоді, коли його границя має міру Жордана рівну нулю .
  • Зовнішня міра Жордана для   рівна зовнішній мірі Жордана для   (замикання множини  ) і рівна мірі Бореля  .
  • Вимірні за Жорданом множини утворюють кільце множин, на якому міра Жордана є скінченно аддитивною функцією.

Вимірні і невимірні за Жорданом множиниРедагувати

Усі прямокутники, кулі, симплекси є вимірними за Жорданом. Простим прикладом не вимірної за Жорданом множини є множина раціональних чисел. Зовнішня міра Жордана цієї множини рівна 1, а внутрішня рівна нулю.

ЛітератураРедагувати

  • Peano, G. Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
  • Jordan, C. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;

Див. такожРедагувати