Відкрити головне меню

Міра Лебе́га на  — міра, що є розширенням міри Жордана на ширший клас множин, була введена Лебегом в 1902 році.

Зміст

Побудова міри на прямійРедагувати

Зовнішня міраРедагувати

Для довільної підмножини   числової прямої можна знайти довільну кількість різних систем скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину  . Назвемо такі системи покриттями. Сума довжин інтервалів, що входять в покриття, є невід'ємною і обмежена знизу, отже множина довжин всіх покриттів має точну нижню грань. Ця грань, залежить тільки від множини  , і називається зовнішньою мірою:

 

Варіанти позначення зовнішньої міри:

 

Очевидно, що зовнішня міра довільного інтервала збігається з його довжиною.

властивості зовнішньої міриРедагувати

  •  
  •  
  •  , де   — відкрита множина. Дійсно, достатньо як   взяти суму інтервалів, що утворюють покриття  , таку що  . Існування такого покриття випливає з визначення точної нижньої грані.

Внутрішня міраРедагувати

Якщо множина   обмежена, то внутрішньою мірою множини   називається різниця між довжиною сегмента  , що містить   та зовнішньою мірою доповнення   в  :

 

Для необмежених множин,   визначається як точна верхня грань   по всіх відрізках  .

Вимірні множиниРедагувати

Множина називається вимірною за Лебегом, якщо її зовнішня і внутрішня міри однакові. Тоді їх спільне (однакове) значення називається мірою множини за Лебегом і позначається   чи  .

Приклад невимірної множиниРедагувати

Побудова невимірної множини на відрізку була б неможлива без прийняття аксіоми вибору (не можна було б допускати можливість вибирати представника в кожному класі еквівалентності).

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати