Множина́ Віта́лі — історично перший приклад множини, що не має міри Лебега (невимірна множина). Цей приклад опублікував 1905 року італійський математик Джузепе Віталі.

ІсторіяРедагувати

1902 року Анрі Лебег у своїх лекціях «Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives», сформулював теорію міри і гадав, що вона може бути застосована до довільної обмеженої множини. Але поява контрприкладів розвіяла ці сподівання. Побудова таких невимірних множин завжди спирається на аксіому вибору.

ПобудоваРедагувати

Введемо відношення еквівалентності   на відрізку  :

  (дійсні числа еквівалентні, якщо їх різниця є раціональним числом).

Виберемо із кожного класу еквівалентності по одному елементу (тут ми користуємося аксіомою вибору), отримана множина   буде невимірною.

Справді, якщо зсунути множину   зліченну кількість разів на всі раціональні числа з відрізка  , то об'єднання таких множин буде включати весь відрізок   і саме буде включене у відрізок  .

Припустимо, що множина   має міру Лебега. Тоді можливі 2 випадки:

  • Міра   дорівнює нулю. Тоді міра відрізка   (як зліченного об'єднання множин міри нуль) теж дорівнює нулю, що суперечить визначенню міри.
  • Міра   більша нуля. Тоді, аналогічно, міра відрізка   буде нескінченною, що знову суперечить визначенню.

В обох випадках приходимо до суперечності. Отже, множина Віталі не має міри Лебега.

ДжерелаРедагувати