Обмежена множина

Обмежена множина у математичному аналізі, і прилеглих розділах математики — множина, яка у певному сенсі має скінченний розмір. Базовим є поняття обмеженості числової множини, яке узагальнюється на випадок довільного метричного простору, а також на випадок довільної частково упорядкованої множини. Поняття обмеженості множини не має сенсу у загальних топологічних просторах, без метрики.

Обмежена числова множина

Множина дійсних чисел $X\subset \mathbb {R}$ називається обмеженою зверху, якщо існує число $b$ , таке що всі елементи $X$ не перевищують $b$ :

\exists b\;\forall x\;(x\in X\Rightarrow x\leqslant b)

Множина дійсних чисел $X\subset \mathbb {R}$ називається обмеженою знизу, якщо існує число $b$ , таке що всі елементи $X$ не менше $b$ : $\exists b\;\forall x\;(x\in X\Rightarrow x\geqslant b)$

Множина $X\subset \mathbb {R}$ , обмежена зверху і знизу, називається обмеженою.

Множина $X\subset \mathbb {R}$ , що не є обмеженою, називається необмеженою. Як випливає з означення, множина не обмежена тоді і тільки тоді, коли вона не обмежена зверху або не обмежена знизу.

Прикладом обмеженої множини є відрізок $[a,b]=\{a\leqslant x\leqslant b\}$ ,

необмеженої — множина всіх цілих чисел

\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2,-1,0,1,2,\ldots \}

,

обмеженої зверху, але необмеженої знизу — промінь

x<0

,

обмеженої знизу, але необмеженої зверху— промінь

x>0

.

Варіації та узагальнення

Обмежена множина у метричному просторі

Нехай $(X,\rho )$ — метричний простір. Множина $M\subset X$ називається обмеженої, якщо вона міститься у деякій кулі $B_{r}(a)$ :

\exists a\in X\;\exists (r>0)\;\forall x\in X(x\in M\Rightarrow \rho (a,x)<r)

Множина, що не є обмеженою, називається необмеженою.

На відміну від числової прямої, у довільному метричному просторі можна ввести поняття обмеженої зверху і обмеженої знизу множин.

Крім поняття обмеженої множини для довільного метричного простору існує більш спеціальне поняття цілком обмеженої множини. У випадку числових множин це поняття збігається з поняттям обмеженої множини.

Обмеженість у частково впорядкованій множині

Поняття обмеженої зверху, обмеженої знизу і просто обмеженої множини можна ввести у довільній частково впорядкованій множині. Ці визначення буквально повторюють відповідні визначення для числових множин.

Нехай $(P,\leqslant )$ — частково впорядкована множина, $S\subset P$ . Множена $S$ називається обмеженою зверху, якщо