Міра множини

(Перенаправлено з Теорія міри)

Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів.

Неформально, міра — це функція, що відображає множини на невід'ємні дійсні числа, при цьому, надмножини відображаються на більші числа, ніж підмножини.

Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай йдеться про зліченно-адитивну міру.

Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.

Визначення

ред.

Теорія міри та інтеграла Лебега була розроблена на початку XX ст. у зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики.

Скінчено-адитивна міра

ред.

Нехай задано простір   з виділеним класом підмножин  , замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція   називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовольняє наступним умовам:

  1.  ;
  2. Якщо   — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із  , тобто  , то

 .

Альтернативне визначення

ред.

Функція множини   називається мірою, якщо:

  • область визначення   функції   є напівкільце множин.
  • значення  
  •   — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу  ,  
    буде виконуватись рівність
     

Система множин   називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена у відношенні до утворення перетинів, і якщо з приналежності до   множини   та   випливає можливість представлення множини   у вигляді об'єднання  , де   — попарно неперетинаючі множини з  , перша з яких є задана множина  .

Злічено-адитивна міра

ред.

Нехай задано простір   з виділеною σ-алгеброю  . Функція   називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:

  1.  ;
  2. (σ-адитивність) Якщо   — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з  , тобто  , то
 .

Продовження міри

ред.

Міра   називається продовженням міри  , якщо   і для кожної   виконується рівність:

 

При цьому, для кожної міри  , заданої на деякому напівкільці   існує єдине продовження  , що має як область визначення кільце   (тобто, мінімальне кільце над  ).

Примітки

ред.
  • Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
  • Якщо міра всього простору скінчена, тобто  , то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
  • На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на множину всіх його підмножин.

Приклади

ред.

Див. також

ред.

Джерела

ред.
  • Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352.
  • Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)