Міра множини
Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів.
Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай йдеться про зліченно-адитивну міру.
Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.
Визначення
ред.Теорія міри та інтеграла Лебега була розроблена на початку XX ст. у зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики.
Нехай задано простір з виділеним класом підмножин , замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовольняє наступним умовам:
- ;
- Якщо — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із , тобто , то
.
Альтернативне визначення
ред.Функція множини називається мірою, якщо:
- область визначення функції є напівкільце множин.
- значення
- — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу ,
- буде виконуватись рівність
Система множин називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена у відношенні до утворення перетинів, і якщо з приналежності до множини та випливає можливість представлення множини у вигляді об'єднання , де — попарно неперетинаючі множини з , перша з яких є задана множина .
Злічено-адитивна міра
ред.Нехай задано простір з виділеною σ-алгеброю . Функція називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:
- ;
- (σ-адитивність) Якщо — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з , тобто , то
- .
Продовження міри
ред.Міра називається продовженням міри , якщо і для кожної виконується рівність:
При цьому, для кожної міри , заданої на деякому напівкільці існує єдине продовження , що має як область визначення кільце (тобто, мінімальне кільце над ).
Примітки
ред.- Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки.
- Якщо міра всього простору скінчена, тобто , то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена.
- На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на множину всіх його підмножин.
Приклади
ред.- Міра Жордана — приклад скінчено-адитивної міри;
- Міра Лебега — приклад нескінченої міри;
- Імовірність — приклад скінченої міри.
Див. також
ред.Джерела
ред.- Вулих Б. З. (1973). Краткий курс теории функций вещественной переменной (введение в теорию интеграла). М.: Наука. с. 352.
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)