Якщо
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
E
{\displaystyle E}
ν
:
F
→
E
,
{\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E,}
ν
(
A
∪
B
)
=
ν
(
A
)
+
ν
(
B
)
{\displaystyle \nu (A\cup B)=\nu (A)+\nu (B)}
для всіх множин
A
,
B
∈
F
,
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}},}
векторною мірою
Якщо
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
σ-алгеброю то функція
ν
:
M
→
E
{\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E}
зліченно адитивною (σ-адитивною) векторною мірою , якщо для кожної послідовності
(
A
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
ν
(
⋃
n
=
1
∞
A
n
)
=
∑
n
=
1
∞
ν
(
A
n
)
{\displaystyle \nu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (A_{n})}
ред.
Нехай
ν
:
F
→
E
{\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to E}
Π
⊂
F
{\displaystyle \Pi \subset {\mathcal {F}}}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
Π
{\displaystyle \Pi }
⋃
P
∈
Π
=
A
.
{\textstyle \bigcup _{P\in \Pi }=A.}
|
ν
|
:
F
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle |\nu |\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}
|
ν
|
(
A
)
=
sup
{
∑
P
∈
Π
‖
ν
(
P
)
‖
:
Π
}
,
{\displaystyle |\nu |(A)=\sup \left\{\sum _{P\in \Pi }\|\nu (P)\|\colon \Pi \right\},}
називається варіацією векторної міри
ν
.
{\displaystyle \nu .}
Функція
‖
ν
‖
:
F
→
[
0
,
∞
]
,
{\displaystyle \|\nu \|\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ],}
‖
ν
‖
(
A
)
=
sup
{
|
x
⋆
∘
ν
|
(
A
)
:
x
⋆
∈
E
⋆
,
‖
x
⋆
‖
⩽
1
}
{\displaystyle \|\nu \|(A)=\sup\{|x^{\star }\circ \nu |(A)\colon x^{\star }\in E^{\star },\|x^{\star }\|\leqslant 1\}}
називається напівваріацією векторної міри
ν
.
{\displaystyle \nu .}
Векторна міра
ν
{\displaystyle \nu }
Якщо
M
{\displaystyle {\mathfrak {M}}}
M
,
{\displaystyle M,}
ν
:
M
→
R
{\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to \mathbb {R} }
|
ν
|
=
‖
ν
‖
=
ν
+
+
ν
−
,
{\displaystyle |\nu |=\|\nu \|=\nu ^{+}+\nu ^{-},}
ν
+
,
ν
−
,
{\displaystyle \nu ^{+},\nu ^{-},}
Варіація векторної міри є адитивною функцією множин. Варіація зліченно адитивної векторної міри є мірою.
Напівваріація векторної міри є субадитивною та монотонною функцією множин.
Якщо
ν
{\displaystyle \nu }
‖
ν
‖
⩽
|
ν
|
.
{\displaystyle \|\nu \|\leqslant |\nu |.}
Векторна міра з обмеженою варіацією є зліченно адитивною тоді й лише тоді, коли її варіація є зліченно адитивною.
Нехай
M
=
σ
(
F
)
{\displaystyle {\mathfrak {M}}=\sigma ({\mathcal {F}})}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
ν
:
M
→
E
{\displaystyle \nu \colon {\mathfrak {M}}\to E}
A
∈
F
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}
|
ν
|
F
|
(
A
)
=
|
ν
|
(
A
)
.
{\displaystyle |\nu |_{\mathcal {F}}|(A)=|\nu |(A).}
Якщо варіація векторної міри
ν
{\displaystyle \nu }
скінченною мірою , то
ν
{\displaystyle \nu }
Множина значень σ-адитивної векторної міри є обмеженою.
Зліченно адитивна векторна міра. Нехай
T
:
L
∞
[
0
,
1
]
→
X
{\displaystyle T\colon L_{\infty }[0,1]\to X}
неперервним лінійним оператором . Тоді можна ввести скінченно адитивну міру значення якої lля кожної вимірної (у сенсі Лебега ) множини
A
⊂
[
0
,
1
]
{\displaystyle A\subset [0,1]}
ν
(
A
)
=
T
(
χ
A
)
,
{\displaystyle \nu (A)=T(\chi _{A}),}
де
χ
A
{\displaystyle \chi _{A}}
характеристична функція . Також для кожного
A
⊂
[
0
,
1
]
{\displaystyle A\subset [0,1]}
‖
ν
(
A
)
‖
⩽
l
(
A
)
‖
T
‖
,
{\displaystyle \|\nu (A)\|\leqslant l(A)\|T\|,}
l
{\displaystyle l}
Тоді також
‖
ν
‖
(
A
)
⩽
l
(
A
)
‖
T
‖
,
{\displaystyle \|\nu \|(A)\leqslant l(A)\|T\|,}
що доводить, що
ν
{\displaystyle \nu }
векторною мірою із скінченною варіацією. Векторна міра із скінченною напівваріацією але нескінченною варіацією. Нехай
L
|
[
0
,
1
]
{\displaystyle {\mathcal {L}}|_{[0,1]}}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
ν
:
L
|
[
0
,
1
]
→
L
∞
[
0
,
1
]
{\displaystyle \nu \colon {\mathcal {L}}|_{[0,1]}\to L_{\infty }[0,1]}
ν
(
A
)
=
χ
A
,
{\displaystyle \nu (A)=\chi _{A},}
для
A
∈
L
|
[
0
,
1
]
{\displaystyle A\in {\mathcal {L}}|_{[0,1]}}
Векторна міра із нескінченною варіацією. Нехай
F
=
{
A
⊆
N
:
|
A
|
<
ℵ
0
∨
|
N
∖
A
|
<
ℵ
0
}
.
{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{A\subseteq \mathbb {N} \colon |A|<\aleph _{0}\vee |\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\}.}
ν
:
F
→
R
{\displaystyle \nu \colon {\mathcal {F}}\to \mathbb {R} }
ν
(
A
)
=
{
|
A
|
,
|
A
|
<
ℵ
0
−
|
A
|
,
|
N
∖
A
|
<
ℵ
0
{\displaystyle \nu (A)=\left\{{\begin{array}{ll}|A|,&|A|<\aleph _{0}\\-|A|,&|\mathbb {N} \setminus A|<\aleph _{0}\end{array}}\right.}
має необмежену варіацію.
Cohn, Donald L. (1997). Measure theory ISBN 3-7643-3003-1 Zbl 0436.28001 . Архів оригіналу за 28 січня 2022. Процитовано 3 лютого 2022 . Diestel, Joe; Uhl, Jerry J., Jr. (1977). Vector measures . Mathematical Surveys. Т. 15. Providence, R.I: American Mathematical Society. с. xiii+322. ISBN 0-8218-1515-6 Kluvánek, I., Knowles, G, Vector Measures and Control Systems , North-Holland Mathematics Studies 20 , Amsterdam, 1976. 
![{\displaystyle |\nu |\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59fb4f2f3c65146d2a57c53cda242437c37789f3)
![{\displaystyle \|\nu \|\colon {\mathcal {F}}\to [0,\infty ],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d32b8e1eb69ddf57a8b19ff2518dd9cd46dd461c)
![{\displaystyle T\colon L_{\infty }[0,1]\to X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3565e20387eca0763875e75887f82d712d619d6)
![{\displaystyle A\subset [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec520de8fcf27173eb35bf610cc41577f3dd3964)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}|_{[0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e50c8bd9a8b32c9541fbf529a9da27bf648c0b4)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle \nu \colon {\mathcal {L}}|_{[0,1]}\to L_{\infty }[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad557f5794a0710061340b41edc2664cb9a4adca)
![{\displaystyle A\in {\mathcal {L}}|_{[0,1]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ed7fa14c4c49cb861f178afbd4b158c446aa1a)
