Відкрити головне меню
Графік характеристичної функції двовимірної підмножини квадрата.

Характеристична функція (індикаторна функція, індикатор) підмножини функція, визначена на множині , яка визначає належність елемента підмножині .

Термін характеристична функція в теорії ймовірностей використовується в іншому значенні (див. Характеристична функція випадкової величини).

Тому в теорії ймовірностей описана в цій статті функція називається індикаторною функцією.

ВизначенняРедагувати

Нехай   — деяка підмножина довільної множини  . Функція  , визначена таким чином:

 

називається характеристичною функцією або індикатором множини  .

Альтернативними позначеннями індикатора множини   є:   або  , а іноді навіть  . Нотація Айверсона дозволяє позначення  .

(Грецька літера   походить від початкової букви грецького написання слова характеристика.)

Замітка. Позначення   може означати тотожну функцію.

Основні властивостіРедагувати

Відображення, яке пов'язує підмножину   з його індикатором   є ін'єкцією. Якщо   і   — дві підмножини  , то

 
 
 
 

Більш загально, припустимо   — множина підмножин  . Ясно, що для довільного  

 

— добуток нулів і одиниць. Цей добуток приймає значення 1 для тих  , які не належать жодній множині   і 0 в іншому випадку. Тому

 

Розкладаючи ліву частину, одержуємо

 

де   — потужність  . Це одна з форм запису принципу включення-виключення. Отже індикатор — корисне позначення в комбінаториці, яке використовується також і в інших областях, наприклад в теорії ймовірностей: якщо   — ймовірнісний простір з ймовірнісною мірою  , а   — вимірна множина, то індикатор   стає випадковою величиною величиною, чиє математичне очікування рівне ймовірності  

 

Варіація і коваріація для цієї випадкової змінної визначаються за формулами:

 
 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.