Відкрити головне меню

Сигма-скінченна міра в функціональному аналізіміра, така що довільна вимірна множина може бути представлена у вигляді зліченного об'єднання вимірних множин скінченної міри.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Неай   - простір з мірою, де   — деяка множина,   — задане на ній кільце підмножин,   — міра визначена на кільці. Міра   називається σ-скінченною, якщо для довільної множини   існує зліченна сім'я вимірних множин  , така що   і

 . Якщо міра визначена на деякій алгебрі   підмножин множини  , то необхідною і достатньою умовою σ-скінченності є виконання поданих вище умов для єдиної множини  

ПрикладиРедагувати

  • Будь-яка скінченна, зокрема ймовірнісна міра скінченна.
  • Міра Лебега   на   σ-скінченна, оскільки
 .
  • Зліченна міра   на  , тобто така, що   не є σ-скінченною, оскільки зліченне об'єднання будь-яких множин скінченної міри в цьому випадку буде зліченним, тоді як весь простір незліченний.

ВластивостіРедагувати

σ-скінченні міри мають багато властивостей не характерних для інших видів мір, тому вони часто виступають припущеннями при формулюванні теорем теорії мри та інтегралу, зокрема теореми Радона-Нікодима, теореми Фубіні та ін. σ-скінченність також є достатньою умовою єдиності продовження міри заданої на кільці до міри на породженому цим кільцем σ-кільці (теорема Каратеодорі).

ЛітератураРедагувати

  • Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953