У теорії міри Теоремою Фубіні, Теоремою Тонеллі, Теоремою Тонеллі — Фубіні називається ряд пов'язаних тверджень, що зводять обчислення подвійного інтеграла на добутку мір до обчислення повторних інтегралів. Також термін теорема Фубіні використовуються для різних теорем математичного аналізу про рівність подвійних і повторних інтегралів, які по-суті є частковими випадками загальних тверджень.

Теореми названі на честь італійських математиків Гвідо Фубіні і Леоніда Тонеллі.

ФормулюванняРедагувати

Теорема ФубініРедагувати

Нехай   — два простори з сигма-скінченною мірою, а   — їх добуток мір. Нехай функція   інтегровна щодо міри  , тобто вимірна і також  . Тоді

  • функція   визначена майже скрізь і інтегровна щодо  ;
  • функція   визначена майже скрізь і інтегровна щодо  ;
  • і також виконуються рівності
 

Теорема ТонелліРедагувати

Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція   є вимірною і невід'ємною. Тоді

  • функція   визначена і інтегровна щодо  ;
  • функція   визначена і інтегровна щодо  ;
  • і також виконуються рівності
 

Теорема Тонеллі — ФубініРедагувати

Об'єднуючи результати двох попередніх теорем можна також отримати ще один пов'язаний результат.

Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція   є вимірною і якийсь з інтегралів

 
 
 

є скінченним. Тоді

 

Формулювання в теорії ймовірностейРедагувати

В термінах теорії ймовірностей твердження теореми Фубіні можна подати так. Нехай   — ймовірнісні простори, і   — випадкова величина на  . Тоді

 

де індекс позначає ймовірнісну міру, щодо якої береться математичне очікування.

Доведення теореми ФубініРедагувати

Нижче наведено доведення рівності   та існування першого інтегралу. Рівність для іншого повторного інтеграла і відповідно рівність між самими повторними інтегралами доводиться аналогічно.

Розглянемо спочатку випадок невід'ємної вимірної функції f визначеної на  . Для множини   проста функція   задовольняє рівність:

 

де   — перетин   вздовж  , а для довільної функції g визначеної на   позначення   позначає функцію-переріз визначену на Y, як  

З означень інтегралів, характеристичних функцій, добутків мір, а також попередньої рівності отримуємо:

 

Це разом із лінійністю інтегралів доводить твердження для простих невід'ємних вимірних функцій.

Для довільної невід'ємної вимірної функції f існує послідовність   неспадних простих вимірних функцій, що поточково збігаються до f. Для довільного  

послідовність   є неспадною послідовністю простих вимірних функцій, що поточково сходяться до функції   Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

 

Також зважаючи, що функції   — прості, то з попереднього

 

Послідовність функцій   є неспадною послідовністю невід'ємних  - вимірних функцій і згідно теореми Леві про монотонну збіжність їх поточкова границя рівна   і теж є  - вимірною функцією. Зважаючи на ці властивості за допомогою повторного застосування теореми Леві про монотонну збіжність отримуємо рівність:

 

яка завершує доведення для випадку невід'ємної вимірної функції f. Внутрішній інтеграл є скінченним майже скрізь оскільки в іншому випадку загальний вираз не міг би бути скінченним.

Для довільної вимірної функції f, що задовольняє умови теореми її можна записати як   де   — невід'ємні вимірні функції для яких також   і  

Справедливість теореми Фубіні для загального випадку є таким чином наслідком теореми для випадку невід'ємних функцій і лінійності інтегралів.

Математичний аналізРедагувати

Теормін теорема Фубіні часто використовується в математичному аналізі для тверджень про рівність між двовимірними і повторними інтегралами, хоча ці результати були відомі задовго до Фубіні і Тонеллі.

У найпростішому випадку твердження можна подати так. Нехай   — функція двох дійсних змінних, інтегровна за Ріманом на прямокутнику  , тобто  . Тоді

 

де інтеграл у лівій стороні двовимірний, а інші повторні одновимірні.

ДоведенняРедагувати

Будь-яке розбиття   множини   отримується деякими розбиттями   відрізка   і   відрізка  , при цьому площа кожного прямокутника   визначається як  , де   ? деякі відрізки розбиттів.

Тоді можна дати оцінку для інтеграла

 

і нижніх і верхніх інтегральних сум функції   и  :
 
 
 
При інтегровності   на  , тобто рівності   інтеграл   також існує і має таке ж значення, як і  

Приклади необхідності умов теоремиРедагувати

Функції з нескінченним інтеграломРедагувати

Розглянемо функцію

 
Для неї не виконується вимога скінченності інтегралу:
 

Твердження теореми Фубіні для цієї функції не буде справедливим оскільки:

 
але
 

Добуток не сигма-скінченних мірРедагувати

Розглянемо добуток двох множин  .На першій задамо звичайну міру Лебега   а на іншій — лічильну міру   на алгебрі всіх підмножин інтервалу. Лічильна міра не є сигма-скінченною.

Якщо позначити   — діагональ, то характеристична функція 1Δ є вимірною.

Для повторних інтегралів маємо :   і : 

Дані інтеграли відрізняються оскільки один з вимірних просторів не є сигма-скінченним.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Дороговцев, А. Я. (1989). Элементы общей теории меры и интеграл. К.: Вища школа. с. 152. ISBN 5-11-001190-7. 
  • Cohn, Donald L. (1997) [1980]. Measure theory (вид. reprint). Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag. с. IX+373. ISBN 3-7643-3003-1.