Нехай
(
X
i
,
F
i
,
μ
i
)
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle (X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2}
вимірних простори , а
X
1
×
X
2
{\displaystyle X_{1}\times X_{2}}
декартовий добуток множин
X
1
{\displaystyle X_{1}}
X
2
{\displaystyle X_{2}}
F
1
×
F
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}
X
1
×
X
2
{\displaystyle X_{1}\times X_{2}}
сигма-алгеброю . Позначимо
F
1
⊗
F
2
=
σ
(
F
1
×
F
2
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}=\sigma ({\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2})}
мінімальну
σ
{\displaystyle \sigma }
F
1
×
F
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}
(
X
1
×
X
2
,
F
1
⊗
F
2
)
{\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2})}
вимірний простір . Визначимо на ньому міру
μ
1
⊗
μ
2
:
F
1
⊗
F
2
→
R
{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}\colon {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}\to \mathbb {R} }
μ
1
⊗
μ
2
(
A
)
=
μ
1
(
A
1
)
⋅
μ
2
(
A
2
)
,
∀
A
=
A
1
×
A
2
∈
F
1
×
F
2
.
{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\mu _{1}(A_{1})\cdot \mu _{2}(A_{2}),\quad \forall A=A_{1}\times A_{2}\in {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}.}
μ
1
⊗
μ
2
{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}
F
1
×
F
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\times {\mathcal {F}}_{2}}
F
1
⊗
F
2
{\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}}
μ
1
⊗
μ
2
(
A
)
=
∫
X
2
μ
1
(
A
x
2
)
μ
2
(
d
x
2
)
,
A
∈
F
1
⊗
F
2
{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{2}}\mu _{1}(A_{x_{2}})\,\mu _{2}(dx_{2}),\quad A\in {\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2}}
і
μ
1
⊗
μ
2
(
A
)
=
∫
X
1
μ
2
(
A
x
1
)
μ
1
(
d
x
1
)
,
{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}(A)=\int \limits _{X_{1}}\mu _{2}(A_{x_{1}})\,\mu _{1}(dx_{1}),}
де
A
x
2
=
{
x
1
∈
X
1
∣
(
x
1
,
x
2
)
∈
A
)
}
{\displaystyle A_{x_{2}}=\{x_{1}\in X_{1}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}}
A
{\displaystyle A}
x
2
∈
X
2
{\displaystyle x_{2}\in X_{2}}
A
x
1
=
{
x
2
∈
X
2
∣
(
x
1
,
x
2
)
∈
A
)
}
{\displaystyle A_{x_{1}}=\{x_{2}\in X_{2}\mid (x_{1},\;x_{2})\in A)\}}
A
{\displaystyle A}
x
1
∈
X
1
{\displaystyle x_{1}\in X_{1}}
Визначена міра
μ
1
⊗
μ
2
{\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}
μ
1
{\displaystyle \mu _{1}}
μ
2
{\displaystyle \mu _{2}}
(
X
1
×
X
2
,
F
1
⊗
F
2
,
μ
1
⊗
μ
2
)
{\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})}
(прямим) добутком початкових просторів з мірою.
Добуток мір завжди визначений коректно для будь-яких вимірних просторів.
Для просторів з мірою
(
X
i
,
F
i
,
μ
i
)
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle (X_{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mu _{i}),\;i=1,\;2}
сигма-скінченність обох мір.
Для довільних просторів з мірою однозначно визначений максимальний добуток мір
(
μ
1
⊗
μ
2
)
m
a
x
{\displaystyle (\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}}
(
μ
1
⊗
μ
2
)
m
a
x
(
A
)
{\displaystyle (\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}(A)}
A теж рівне
(
μ
1
⊗
μ
2
)
m
a
x
(
A
)
.
{\displaystyle (\mu _{1}\otimes \mu _{2})_{max}(A).}
ред.
Якщо
(
Ω
i
,
F
i
,
P
i
)
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle (\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2}
ймовірнісних простори , то
(
Ω
1
×
Ω
2
,
F
1
⊗
F
2
,
P
1
⊗
P
2
)
{\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})}
Якщо
X
,
Y
:
Ω
→
R
{\displaystyle X,\;Y\colon \Omega \to \mathbb {R} }
випадкові величини , то
P
X
,
P
Y
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X},\;\mathbb {P} ^{Y}}
розподіли на
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
P
X
,
Y
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}}
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
(
X
,
Y
)
⊤
{\displaystyle (X,\;Y)^{\top }}
X
,
Y
{\displaystyle X,\;Y}
незалежні , то
P
X
,
Y
=
P
X
⊗
P
Y
.
{\displaystyle \mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y}.}
Міра Лебега
m
n
{\displaystyle m_{n}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
n
{\displaystyle n}
m
1
{\displaystyle m_{1}}
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
B
(
R
n
)
=
⨂
i
=
1
n
B
(
R
)
,
{\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),}
де
B
(
X
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}
борелівську
σ
{\displaystyle \sigma }
на просторі
X
{\displaystyle X}
m
n
=
⨂
i
=
1
n
m
1
.
{\displaystyle m_{n}=\bigotimes \limits _{i=1}^{n}m_{1}.}
Для прикладу добутку просторів з мірою на якому добуток з мірою визначений не єдиним чином нехай
X
1
,
X
2
=
[
0
,
1
]
⊂
R
.
{\displaystyle X_{1},X_{2}=[0,1]\subset \mathbb {R} .}
лічильну міру на сигма-алгебрі всіх підмножин. Тоді двома варіантами добутку мір є: 1. Міра, що кожній множині ставить у відповідність суму усіх її горизонтальних перерізів. 2. Максимальна міра, яка може бути скінченною тільки для множин, що є зліченною сумою множин виду A ×B , де або A є множиною лебегової міри нуль або B є одноточковою множиною. На діагоналі множини
[
0
,
1
]
×
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]\times [0,1]}
нескінченності .
Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграл , К.: Вища школа, с. 152, ISBN 5-11-001190-7 Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1 
![{\displaystyle X_{1},X_{2}=[0,1]\subset \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ca3cec134dfa7cf47e9fe39523ecc6827bbf8e)
![{\displaystyle [0,1]\times [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f35a051af39d8299688d7c4a63e39ee5f95c8b)