Відкрити головне меню

Борелівська сигма-алгебра — це мінімальна сигма-алгебра, така, що містить всі відкриті підмножини топологічного простору (відповідно, вона містить і всі замкнуті). Елементи даної сигма-алгебри називаються борелівськими множинами.

Якщо не обумовлене протилежне, як топологічний простір виступає множина дійсних чисел.

Борелівська сигма-алгебра зазвичай виступає в ролі сигма-алгебри випадкових подій ймовірнісного простору.

У борелівській сигма-алгебрі на прямій або на відрізку міститься велика кількість «простих» множин: всі інтервали, напівінтервали, відрізки і їх злічені об'єднання. Алгебра була названа на честь Бореля.

Спорідненні поняттяРедагувати

  • Функція Борелявідображення одного топологічного простору в інший (зазвичай обидва є просторами дійсних чисел, для якого прообраз будь-якої борелівської множини є борелівська множина).

ВластивостіРедагувати

Приклад вимірної за Лебегом, але не борелівської множиниРедагувати

Розглянемо функцію   на відрізку  , де  функція Кантора. Міра образу множини Кантора рівна  , а значить, міра образу її доповнення також рівна  . Функція   монотонна, значить, вона вимірна і існує обернена до неї функція. Оскільки міра образу канторової множини ненульова, в ній можна знайти невимірну множину  . Тоді образ   при відображенні   буде вимірним (оскільки він лежить в канторовій множині, міра якої нульова), але не буде борелівською (оскільки інакше   була б вимірною як прообраз борелівської множини при вимірному відображенні).

ДжерелаРедагувати