Відкрити головне меню

Означення Дискретні випадкові величини називаються незалежними, якщо для довільних множин :

Альтернативне означення Нехай дано сімейство випадкових величин , отже . Тоді ці випадкові величини попарно незалежні, якщо попарно незалежні породжені ними σ-алгебри . Випадкові величини незалежні в сукупності, якщо такі породжені ними σ-алгебри.

Визначення, дане вище, еквівалентно будь-якому іншому з наведених нижче. Дві випадкові величини незалежні тоді і лише тоді, коли:

  • Для будь-яких ,
;
  • Для будь-яких борелівських функцій випадкові величини незалежними;
  • Для будь-яких обмежених борелівських функцій
;

Властивості незалежних випадкових величинРедагувати

Теорема про спадковість незалежності випадкових величин. Якщо   та   - незалежні випадкові величини, а   - незалежні, невипадкові функції, які визначені на області можливих значень   та   відповідно, то   та   - незалежні випадкові величини.

  • Нехай   - розподіл випадкового вектора  ,   - розподіл   і   - розподіл  . Тоді   незалежними тоді і лише тоді, коли
 ,

де   позначає (прямий) добуток мір;

  • Нехай   - кумулятивні функції розподілу   відповідно. Тоді   незалежні тоді і лише тоді, коли
 ;
  • Нехай випадкові величини   дискретні. Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли
 .
  • Нехай випадкові величини   спільно абсолютно безперервні тобто їх спільний розподіл має щільність  . Тоді вони незалежні тоді і лише тоді, коли
 ,

де   - щільність випадкових величин   і   відповідно.