Відкрити головне меню

Вимірні функції  — певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.

Зміст

ВизначенняРедагувати

Нехай   і   дві множини з визначеними алгебрами підмножин. Тоді функція   називається  -вимірною, або просто вимірною, якщо повний прообраз довільної множини із   належить  , тобто

 

де   повний прообраз множини  .

ЗаміткаРедагувати

Дійснозначні вимірні функціїРедагувати

Нехай задана функція  . Тоді справедливі такі визначення:

  • Функція   вимірна, якщо
 .
  • Функція   вимірна, якщо
 , таких що  , маємо  ,

де   позначає довільний інтервал, відкритий, напіввідкритий чи замкнутий.

  • Якщо   є невід'ємною дійснозначною функцією то вона є вимірною тоді й лише тоді коли вона є поточковою границею деякої поточково неспадної послідовності   невід'ємних простих вимірних функцій.

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Нехай   і   — дві копії дійсної прямої разом з борелівською σ-алгеброю. Тоді вимірна функція   називається борелівською.
  • Вимірна функція  , де   — множина елементарних подій, а   — σ-алгебра випадкових подій, називається випадковим елементом.

ПрикладиРедагувати

  • Нехай  неперервна функція. Тоді вона вимірна відносно борелівської σ-алгебри на числовій прямій.
  • Нехай   і  індикатор множини   Тод функція   не є вимірною.

Властивості вимірних функційРедагувати

ДжерелаРедагувати