Вимірна функція

Вимірні функції  — певний клас функцій заданих на множинах з мірою. Широко використовуються в теорії міри і теорії ймовірностей.

Визначення

Нехай $(X,{\mathcal {F}})$ і $(Y,{\mathcal {G}})$ дві множини з визначеними алгебрами підмножин. Тоді функція $f:X\to Y$ називається ${\mathcal {F}}/{\mathcal {G}}$-вимірною, або просто вимірною, якщо повний прообраз довільної множини із ${\mathcal {G}}$ належить ${\mathcal {F}}$, тобто

$\forall B\in {\mathcal {G}},\;f^{-1}(B)\in {\mathcal {F}},$

де $f^{-1}(B)$ повний прообраз множини $B$.

Замітка

• Якщо $\,X$ и $\,Y$ — топологічні простори, і алгебри ${\mathcal {F}}$ і ${\mathcal {G}}$ явно не вказані, то вважається, що це борелівські σ-алгебри відповідних просторів.

Дійснозначні вимірні функції

Нехай задана функція $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$. Тоді справедливі такі визначення:

• Функція $f$ вимірна, якщо

$\forall c\in \mathbb {R} ,\;\{x\in X\mid f(x)\leq c\}\in {\mathcal {F}}$.

• Функція $f$ вимірна, якщо

$\forall a,b\in \mathbb {R}$, таких що $a\leq b$, маємо $\{x\in X\mid f(x)\in |a,b|\}\in {\mathcal {F}}$,

де $|a,b|$ позначає довільний інтервал, відкритий, напіввідкритий чи замкнутий.

• Якщо $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} _{+}\cup +\infty ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} _{+}\cup +\infty ))$ є невід'ємною дійснозначною функцією то вона є вимірною тоді й лише тоді коли вона є поточковою границею деякої поточково неспадної послідовності $f_{n}$ невід'ємних простих вимірних функцій.

Пов'язані визначення

• Нехай $(X,{\mathcal {F}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ і $(Y,{\mathcal {G}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ — дві копії дійсної прямої разом з борелівською σ-алгеброю. Тоді вимірна функція $f:(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ називається борелівською.
• Вимірна функція $f:(\Omega ,{\mathcal {F}})\to (Y,{\mathcal {G}})$, де $\Omega$ — множина елементарних подій, а ${\mathcal {F}}$ — σ-алгебра випадкових подій, називається випадковим елементом.

Приклади

• Нехай $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ — неперервна функція. Тоді вона вимірна відносно борелівської σ-алгебри на числовій прямій.
• Нехай $f:(X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )),$ і $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x),\;x\in X$ — індикатор множини $A\not \in {\mathcal {F}}.$ Тод функція $f$ не є вимірною.

Властивості вимірних функцій

• Сума і добуток вимірних функцій є вимірними функціями.
• Супремум зліченної множини дійснозначних вимірних функцій є вимірною функцією.
• Поточкова границя послідовності вимірних функцій є вимірною функцією.

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)