В математиці, зокрема в теорії міри, зовнішня міра — це функція, визначена на всіх підмножинах даної множини з дійсним значенням, що задовольняє кільком додатковим технічним умовам.

Загальна теорія зовнішньої міри була розроблена Каратеодорі з метою забезпечити основу для теорії вимірних множин і зліченно-адитивних мір. Роботи Каратеодорі з зовнішньої міри знайшли чимало застосувань в теорії вимірних множин (зовнішня міра, наприклад, використовується в доведенні фундаментальної теореми Каратеодорі про продовження), і була використана Гаусдорфом для визначення метричного інваріанту, що узагальнює розмірність, зараз він зветься Гаусдорфовою розмірністю.

Міра узагальнює довжину, площу і об'єм, але також находить застосування для багатьох абстрактніших і незвичних речей, крім інтервалів або ж куль в .

Випадок числової прямоїРедагувати

Для довільної підмножини   числової прямої можна знайти як завгодно багато різних систем зі скінченної чи зліченної кількості інтервалів, об'єднання яких містить множину  . Назвемо такі системи покриттями. Оскільки сума довжин інтервалів, що складають будь-яке покриття, є величиною невід'ємною, вона обмежена знизу, і, значить, множина довжин всіх покриттів має точну нижню межу. Ця грань, залежна тільки від множини  , і називається зовнішньою мірою:

 

Варіанти позначення зовнішньої міри:

 

Формальне означенняРедагувати

Нехай   - фіксована універсальна множина.

Зо́внішньою мі́рою називається функція   така, що

  1.  ;
  2.  .

Нехай   — міра, визначена на кільці  . Зовнішньою мірою, породженою мірою  , називається функція   така, що

  1.   якщо хоч одне таке покриття множини   існує;
  2.   в іншому випадку.

Теорема. Зовнішня міра  , породженна мірою  , є зовнішньою мірою.

  Перевіримо пункт перший з означення зовнішньої міри.  .   визначена на  .

 .

Перевіримо другий пункт означення. Нехай  . Якщо існує така множина   з покриття, що  , то нерівність справджується. Нехай далі всі множини з покритття такі, що  . Візьмемо довільне  , за означенням точної нижньої межі

 .

Тоді

 .

Оскільки   є зліченним об'єднанням елементів кільця  , то

 .  

Властивості зовнішньої міриРедагувати

Властивості зовнішньої міри  :

  •  .

  Дійсно,

 .  
  •   (монотонність).

  Випливає з попередньої властивості при  .  

- вимірні множиниРедагувати

Нехай   — деяка зовнішня міра визначена на підмножинах множини  . Тоді множини  , такі що для всіх   виконується рівність:

 

називаються   - вимірними.   - вимірні множини утворюють σ-кільце, а функція   визначена на елементах цього σ-кільця є мірою, що називається мірою породженою  . Якщо зовнішня міра   породжена деякою мірою   визначеною на кільці   то   буде продовженням міри   (де   визначена вище міра породжена  ).

Якщо визначити   деяка зовнішня міра породжена мірою   то   тоді й лише тоді коли сама зовнішня міра   є породжена деякою мірою  [1].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Халмош П.Р. Теория меры ст. 57

ЛітератураРедагувати

  • Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
  • Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953