Лема Фату

Ле́ма Фату́ — твердження, яке використовується при доведені різних теорем у функціональному аналізі і теорії ймовірностей.

Формулювання з функціонального аналізу

Нехай фіксовано простір з мірою $(X,{\mathcal {F}},\mu )$. Припустимо, що $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ — послідовність невід'ємних інтегровних функцій на $X$. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

$\int \limits _{X}{\liminf _{n\to \infty }}f_{n}(x)\,\mu (dx)\leq {\liminf _{n\to \infty }}\int \limits _{X}f_{n}(x)\,\mu (dx)$.

Формулювання з теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\Omega$, наведена вище теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай є невід'ємна послідовність інтегрованих випадкових величин $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$. Тоді виконується наступна нерівність для нижніх границь

$\mathbb {E} \left[{\liminf \limits _{n\to \infty }}X_{n}\right]\leq {\liminf \limits _{n\to \infty }}\,\mathbb {E} X_{n}.$

Див. також

• Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)