Теорема Лебега про мажоровану збіжність

Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.

Формулювання

Нехай $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ — вимірні функції на просторі з мірою $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, що приймають значення в $\mathbb {R}$ чи $\mathbb {C}$ і задовольняють умови :

• Послідовність функцій $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ збігається за мірою до функції $f\;$ на всій множині $X$.

• Існує функція $g\in L^{1},$ така що :

$\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in X,|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$

Тоді $f\in L^{1}$ і

$\lim _{n\to \infty }\int _{X}|f_{n}-f|d\mu =0$

при чому виконується :

$\lim _{n\to \infty }\,\int _{X}{\,f_{n}d\mu }=\int _{X}{\,\lim _{n\to \infty }\,f_{n}d\mu }=\int _{X}{\,f}d\mu$

Доведення

Доведемо, що $f\in L^{1}$ :

оскільки $f\;$ є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх $n\;$ виконується $|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$, то здійснивши граничний перехід одержуємо, $|f(x)|\leqslant g(x),\forall x\in X$ звідки $f\in L^{1}$.

Використавши $2g-|f_{n}-f|\geqslant 0$ і застосувавши лему Фату,

${\begin{aligned}\int _{X}2g\ d\mu &\leqslant \liminf \int _{X}(2g-|f_{n}-f|)\ d\mu \\\ &=\int _{X}2g\ d\mu +\liminf \int _{X}-|f_{n}-f|\ d\mu \\\ &=\int _{X}2g\ d\mu -\limsup \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \\\end{aligned}}$

Оскільки $\int g\ d\mu <\infty \;$ то, $\limsup \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \leqslant 0$

звідки

$\lim \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu =0$

скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :

${\begin{aligned}\ &\left|\int _{X}(f_{n}-f)\ d\mu \right|\leqslant \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \\\Rightarrow &\left|\int _{X}f_{n}\ d\mu -\int _{X}f\ d\mu \right|\leqslant \int _{X}|f_{n}-f|\ d\mu \rightarrow 0\\\Rightarrow &\int _{X}f_{n}\ d\mu \rightarrow \int _{X}f\ d\mu \end{aligned}}$

Зауваження

• Умова мажорованості послідовності $\{f_{n}\}$ інтегрованою функцією $g$ не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )=([0,\;1],\;{\mathcal {B}},\;m)$, де ${\mathcal {B}}$ - борелівська $\sigma$-алгебра на $[0,\;1]$, а $m$ - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо

$f_{n}(x)={\begin{cases}n,&x\in \left[0,\;{\dfrac {1}{n}}\right);\\[10pt]0,&x\in \left[{\dfrac {1}{n}},\;1\right].\end{cases}}$

Тоді послідовність $\{f_{n}\}$ не може бути мажорована інтегрованою функцією, і

$\int \limits _{0}^{1}\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\,m(dx)=0\neq 1=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{0}^{1}f_{n}(x)\,m(dx).$

• В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей $|f_{n}(x)|\leqslant g(x)$ майже всюди.

Справді якщо позначити $N_{k}=\{x:|f_{k}(x)|\geq g(x),\quad n\in \mathbb {N} \}$ і $N_{0}$ — множина на якій послідовність $f_{k}$ не збігається до f, то $\mu \left(N_{k}\right)=0$ для всіх $k\;$. Позначивши $N=\bigcup _{k=0}^{\infty }N_{k}$ маємо $\mu \left(N\right)=0$ і перевизначивши $f_{k}=0,f=0$ на $N$ маємо, що $f_{k},f$ задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.

Застосування до теорії ймовірностей

Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій $\Omega$, вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: $X_{n}\to X$ майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина $Y$, така що $\forall n\in \mathbb {N} \quad |X_{n}|\leqslant Y$ майже напевно. Тоді випадкові величини $X_{n},\;X$ інтегровні і

$\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} X_{n}=\mathbb {E} X.$

Див. також

• Лема Фату
• Інтеграл Лебега
• Вимірна функція

Література

• Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
• Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)