Відкрити головне меню

Математи́чне сподіва́ння, середнє значення — одна з основних числових характеристик кожної випадкової величини. Воно є узагальненим поняттям середнього значення сукупності чисел на той випадок, коли елементи множини значень цієї сукупності мають різну "вагу", ціну, важливість, пріоритет, що є характерним для значень випадкової змінної. [1]

Оскільки, випадкова величина може бути дискретною або задана густиною розподілу ймовірностей, тому теорія ймовірностей наводить два означення математичного сподівання.

Зміст

Означення 1Редагувати

Нехай дискретна випадкова змінна   може набувати значення   відповідно з ймовірностями   причому  .

  • Означення Чебишова: Математичним сподіванням будь-якої величини називається сума всіх можливих для неї значень, помножених на їхні ймовірності: [2]
 ,

де

  — це середнє значення випадкової величини  , областю можливих значень якої є множина  ;
 оператор математичного сподівання;
  — математичне сподівання величини  .

ТвердженняРедагувати

  • Оскільки всі ймовірності   додані разом дорівнюють 1 ( ), математичне сподівання є середнім зваженим, де   є ваговими коефіцієнтами. [3]
 

Якщо всі події   є рівноймовірними[en] (так що,  ), тоді зважене середнє перетворюється у просте середнє арифметичне. Інтуїтивно це можливо зрозуміти наступним чином: очікуване значення випадкової величини є середнім по всім значенням, які вона може прийняти; таким чином сподіванням є таким значенням, що очікують трапиться в середньому. Якщо події   трапляються не з однаковими ймовірностями, тоді просте середнє необхідно замінити зваженим середнім, що дозволяє врахувати, що деякі події трапляються частіше ніж інші. Інтуїтивне розуміння тим не менш залишається тим самим: математичним сподіванням випадкової величини   є те значення, яке повинне трапитися в середньому.

 
Ілюстрація збіжності середнього для послідовності кидання гральної кістки до сподівання 3.5 при постійному збільшенні кількості спроб.

ПрикладиРедагувати

  • Нехай   задає множину подій при підкиданні гральної кістки із шістьма сторонами. Результатом буде кількість точок на верхній грані після підкидання гральної кістки. Можливими значеннями, які прийматиме   є 1, 2, 3, 4, 5, і 6, всі є рівноймовірними (кожне значення має ймовірність 16). Математичним сподіванням для   буде
 
Якщо підкинути гральну кістку   разів і розрахувати середнє (середнє арифметичне) всіх результатів, із збільшенням  , середнє буде майже певне збігатися до значення сподівання. Цей факт відомий як закон великих чисел. Одним із прикладів послідовності десяти випадань гральної кістки є 2, 3, 1, 2, 5, 6, 2, 2, 2, 6, для якого середнє буде дорівнювати 3.1, що відрізняється від математичного сподівання 3.5 на число 0.4. Зближення є відносно повільним: ймовірність що середнє знаходитиметься в межах 3.5 ± 0.1 дорівнює 21.6% для десяти спроб, 46.1% для сотні спроб і 93.7% для тисячі спроб. Див. графік на якому показані середні для довших послідовностей кидання гральної кістки на якому видно як вони збігаються до математичного сподівання із значенням в 3.5. У загальному випадку, швидкість зближення можна приблизно розрахувати за допомогою, наприклад, нерівності Чебишова і теореми Беррі-Ессіна[en].
  • При грі в рулетку невелика кулька може потрапити в одну із 38 пронумерованих секцій колеса, що розміщені по колу. Коли колесо розкручують кулька ударяється і рухається випадковим чином доки не зупиниться в одному з секторів. Нехай випадкова величина   задає (грошовий) виграш при ставці в $1 на одне число ("пряма" ставка). Якщо ставка виграє (що трапиться із ймовірністю 138), виграш становитиме $35; в іншому випадку гравець втрачає ставку. Очікуваним прибутком від такої ставки буде
 
Тобто, ставка в $1 коштуватиме втраті $0.0526, точніше її сподіванням є -$0.0526.

Означення 2Редагувати

Нехай випадкова змінна   задана густиною розподілу ймовірностей :  ,  .

  • Математичним сподіванням такої числової змінної  , якщо воно існує, називають інтеграл, узятий по області існування її густини розподілу, від добутку цієї випадкової змінної на її густину розподілу, тобто:
 .

Сподівання існує, якщо цей інтеграл абсолютно збіжний.

Ймовірність середнього значенняРедагувати

 

Деякі формули для обчислення математичного сподіванняРедагувати

Абстрактний інтеграл, що фігурує в означенні математичного сподівання, можна замінити відповідним інтегралом Лебега-Стілтьєса. Розглянемо випадок композиції борелівської функції   та випадкової величини   :

 ,

де   — функція розподілу випадкової величини  .

Від цієї залежності приходимо до такої формули:

 

Деякі властивості математичного сподіванняРедагувати

  1. Якщо   та   — незалежні інтегровні випадкові величини, то  .
  2. Якщо   та   — інтегровні випадкові величини, то  .
  3. Якщо   — інтегровна випадкова величина,   то  .

Приклад випадкової величини, що не має математичного сподіванняРедагувати

Нехай випадкова величина   розподілена за законом Коші з параметрами   та   , тобто  . Ця випадкова величина має щільність:

 .

Знайдемо її математичне сподівання.

 
 .

Наявність логарифма в останньому виразі робить неможливим обчислення цього інтегралу (внаслідок необмеженості логарифма при необмеженому аргументі), що і доводить неінтегровність випадкової величини  .

Джерела інформаціїРедагувати

  1. Сеньо П.С. Теорія ймовірностей та математична статистика: Підручник. — 2-ге вид., перероб. і доп. — К.: Знання, 2007. — 556 с. — ISBN 966-346-284-1.
  2. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений. — Математический анализ. — М.- Л., 1947. — С. 431.
  3. а б Пряха Б. Оцінювання середніх значень // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва, 2007, випуск I(13): Зб. наук. пр. — Львів: Видавництво Національного університету "Львівська політехніка". — С. 140-145.
  4. Пряха Б.Г. Про числові характеристики результатів вимірювань // Новітні досягнення геодезії, геоінформатики та землевпорядкування — Європейський досвід. — Чернігів: ЧДІЕУ, 2008. — С. 97-108. — ISBN 978-966-2188-04-2.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати