Відкрити головне меню

Збіжність за мірою (за ймовірностю) у функціональному аналізі, теорії ймовірності і суміжних дисциплінах — це вид збіжності вимірних функцій (випадкових величин) заданих на просторі з мірою (ймовірнісному просторі).

Зміст

ВизначенняРедагувати

Хай   — простір з мірою   — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій   збігається за мірою до функції  , якщо:  .

Позначення:  .

У термінах теорії ймовірності, якщо даний імовірнісний простір   з визначеними на ньому випадковими величинами  , то говорять, що   збігається за ймовірностю до  , якщо

 .

Позначення:  .

ЗауваженняРедагувати

Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.

Властивості збіжності за міроюРедагувати

  • Якщо послідовність функцій   збігається за мірою до  , то в неї існує підпослідовність  , що збігається до     - майже всюди.
  • Якщо послідовність функцій   збігається за мірою до  , і  , де  , то  , і   збігається до   у  .
  • Якщо послідовність функцій   збігається  -майже усюди до  , то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
  • Якщо послідовність функцій   збігається в   до  , то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
  • Якщо послідовність випадкових величин   збігається за ймовірністю до  , то вона збігається до   і за розподілом.

ДжерелаРедагувати