Збіжність випадкових величин

У теорії ймовірностей існує декілька видів збіжності випадкових величин. Збіжність послідовності випадкових величин до деякої граничної випадкової величини має широке застосування у статистиці та теорії випадкових процесів.

Види збіжностей

Схема зв'язків між збіжностями:

{\begin{matrix}{\xrightarrow {L^{s}}}&{\underset {s>r\geq 1}{\Rightarrow }}&{\xrightarrow {L^{r}}}&&\\&&\Downarrow &&\\{\xrightarrow {M.H.}}&\Rightarrow &{\xrightarrow {\ p\ }}&\Rightarrow &{\xrightarrow {\ d\ }}\end{matrix}}

Список властивостей різних типів збіжностей:

X_{n}\ {\xrightarrow {as}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X

Із збіжності за ймовірністю випливає існування підпослідовності, що збігається майже напевно.

X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{k_{n}}\ {\xrightarrow {as}}\ X

X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X

X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X

Із збіжності у середньому вищого порядку випливає збіжність у середньому нижчого порядку (обидва порядки мають бути не менше 1).

X_{n}\ {\xrightarrow {L^{r}}}\ X\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {L^{s}}}\ X,

за умови r ≥ s ≥ 1.

Із збіжності послідовності випадкових величин до константи випливає збіжність до константи за ймовірністю.

X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c\quad \Rightarrow \quad X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ c,

Якщо X_n збігається за розподілом до X та різниця між X_n та Y_n збігається за ймовірністю до 0, то Y_n теж збігається за розподілом до X.

X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ |X_{n}-Y_{n}|\ {\xrightarrow {p}}\ 0\ \quad \Rightarrow \quad Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X

Якщо X_n збігається за розподілом до X і Y_n збігається за розподілом до константи c, тоді вектор (X_n, Y_n) збігається за розподілом до (X, c).

X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ (X,c)

Зауваження: збіжність до константи, а не до випадкової величини - суттєва умова.

Якщо X_n збігається за ймовірністю до X та Y_n збігається за ймовірністю до Y, тоді сумісний вектор (X_n, Y_n) збігається за ймовірністю до (X, Y).

X_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ X,\ \ Y_{n}\ {\xrightarrow {p}}\ Y\ \quad \Rightarrow \quad (X_{n},Y_{n})\ {\xrightarrow {p}}\ (X,Y)

Якщо X_n збігається за ймовірністю до X, та якщо P(|X_n| ≤ b) = 1 для всіх n та деякого b, тоді X_n збігається у середньому з r-м порядком до X для всіх r ≥ 1.
Якщо послідовність випадкових величин {X_n} збігається до X₀ за розподілом, то можна побудувати новий ймовірнісний простір (Ω, F, P) та послідовність випадкових величин {Y_n, n = 0,1,…} визначених на ньому, таку що Y_n має такий самий розподіл як X_n для кожного n ≥ 0 та Y_n збігається до Y₀ майже напевно.
Якщо S_n - це сума n дійсних незалежних випадкових величин:

S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}\,

тоді S_n збігається майже напевно тоді й лише тоді коли S_n збігається за ймовірністю.

Теорема Лебега про мажоровану збіжність дає достатні умови для того щоб із збіжності майже напевно випливала збіжність у середньому 1-го порядку:

\left.{\begin{array}{ccc}X_{n}{\xrightarrow {a.s.}}X\\\\|X_{n}|<Y\\\\\mathrm {E} (Y)<\infty \end{array}}\right\}\quad \Rightarrow \quad X_{n}{\xrightarrow {L^{1}}}X

Необхідна і достатня умова для збіжності у середньому 1-го порядку - це збіжність за ймовірністю $X_{n}{\xrightarrow {P}}X$ та рівномірна інтегрованість послідовності X_n.