Верхня і нижня границі

В математичному аналізі верхня і нижня границі визначаються для числових послідовностей чи функцій і використовуються при їх вивченні. На відміну від звичайної границі, верхня і нижня границі завжди існують (хоч і можуть бути рівними нескінченності). Для нижньої границі послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ використовуються позначення $\varliminf _{n\to \infty }x_{n}$ (поширене в українській і російській літературі) і $\liminf _{n\to \infty }x_{n}$ (поширеніше в західній літературі). Для верхньої границі відповідні позначення мають вигляд $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}$ і $\limsup _{n\to \infty }x_{n}.$

Верхня границя (limsup) і нижня границя (liminf)

Визначення

Визначення для послідовностей

Нижню границю послідовності можна визначити:

$\varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$

або

$\varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup\{\,\inf\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

Подібним чином верхня границя послідовності (x_n) визначається

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}$

або

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf\{\,\sup\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

Визначення для функцій

Нехай дано дійсну функцію $f:I\to \mathbb {R} ,$ де $I\subset \mathbb {R} ,$ і ξ — граничну точку I, тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:

$\varlimsup _{x\to \xi }f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi -a,\xi +a)\cap I),$

$\varliminf _{x\to \xi }f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi -a,\xi +a)\cap I).$

Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:

$\varlimsup _{x\to \xi +}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi ,\xi +a)\cap I),$

$\varliminf _{x\to \xi +}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi ,\xi +a)\cap I),$

$\varlimsup _{x\to \xi -}f(x)=\inf _{a>0}\sup f((\xi -a,\xi )\cap I),$

$\varliminf _{x\to \xi -}f(x)=\sup _{a>0}\inf f((\xi -a,\xi )\cap I).$

Визначення для послідовності множин

Нехай Ω — деяка множина, (A_n) — послідовність її підмножин. Тоді верхня і нижня границі цієї послідовності визначаються за формулами:

$\varliminf _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right)$

і

$\varlimsup _{n\rightarrow \infty }A_{n}={\bigcap _{n=1}^{\infty }}\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}A_{m}\right).$

Приклади

• $\varliminf _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\varlimsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$

• $\varliminf _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=-1$

• $\varlimsup _{n\to \infty }\left(-1\right)^{n}=+1$

Властивості

• У будь-якої послідовності існують верхня і нижня границі, що належать множині $\mathbb {R} \cup \lbrace -\infty ,+\infty \rbrace .$
• Числова послідовність $~\{x_{n}\}$ збігається до $~a$ тоді і тільки тоді, коли $\varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=a$.
• Для будь-якого наперед узятого додатного числа $~\varepsilon$ всі елементи обмеженої числової послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, починаючи з деякого номера, залежного від $~\varepsilon$, лежать усередині інтервалу $\left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)$.
• Якщо за межами інтервалу $\left(a,b\right)$ лежить лише скінченна кількість елементів обмеженої числової послідовності $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$, то інтервал $\left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)$ міститься в інтервалі $\left(a,b\right)$.
• Виконуються нерівності:
• $\inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}$
• $\varlimsup _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n})\leq \varlimsup _{n\to \infty }(a_{n})+\varlimsup _{n\to \infty }(b_{n}).$

$\varliminf _{n\to \infty }(a_{n})+\varliminf _{n\to \infty }(b_{n})\leq \varliminf _{n\to \infty }(a_{n}+b_{n}).$

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1966. — Т. 3. — 656 с.(рос.)