Інфімум та супремум — в теорії порядку це двоїсті поняття, що узагальнюють поняття мінімума та максимума для підмножини в частково впорядкованій множині.

Підмножина (сині) дійсних чисел, множина верхніх меж (червоні), і супремум (червоний ромб).
Для підмножини частково впорядкованої множини  :

І́нфімум (точна нижня межа, нижня грань) (лат. infimum — найнижчий) — це найбільша нижня межа S. Позначається .

Супремум (точна верхня межа, верхня грань) (лат. supremum — найвищий) — це найменша верхня межа S. Позначається .

Пов'язані визначення

ред.

Для підмножини   частково впорядкованої множини   :

Міноранта чи нижня межа   — елемент  , такий що  .

Мажоранта чи верхня межа   — елемент  , такий що  .

Визначення

ред.

Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини  , називається найменший елемент  , який є мажорантою  .

Більш формально:

  — множина мажорант  , тобто елементів  , рівних чи більших за всі елементи  
 

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини  , називається найбільший елемент  , який є мінорантою  .

Властивості

ред.
  • Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
  • Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
  • Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.
  • Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
  • І навпаки, для підмножини  :
    • якщо  , то   є найменшим елементом та мінімумом  , позначається  .
    • якщо  , то   є найбільшим елементом та максимумом  , позначається  .

Арифметичні операції

ред.

...

Інфімум та супремум для дійсних чисел

ред.

Див. також

ред.

Джерела

ред.