Інфімум та супремум
Інфімум та супремум — в теорії порядку це двоїсті поняття, що узагальнюють поняття мінімума та максимума для підмножини в частково впорядкованій множині.
І́нфімум (точна нижня межа, нижня грань) (лат. infimum — найнижчий) — це найбільша нижня межа S. Позначається .
Супремум (точна верхня межа, верхня грань) (лат. supremum — найвищий) — це найменша верхня межа S. Позначається .
Пов'язані визначення
ред.Для підмножини частково впорядкованої множини :
Міноранта чи нижня межа — елемент , такий що .
Мажоранта чи верхня межа — елемент , такий що .
Визначення
ред.Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини , називається найменший елемент , який є мажорантою .
Більш формально:
- — множина мажорант , тобто елементів , рівних чи більших за всі елементи
Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини , називається найбільший елемент , який є мінорантою .
Властивості
ред.- Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
- Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
- Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.
- Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
- І навпаки, для підмножини :
- якщо , то є найменшим елементом та мінімумом , позначається .
- якщо , то є найбільшим елементом та максимумом , позначається .
Арифметичні операції
ред....
Інфімум та супремум для дійсних чисел
ред.Див. також
ред.Джерела
ред.- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)