Верхня та нижня межа
(Перенаправлено з Верхня межа)
Верхня та нижня межа (мажоранта та міноранта) — в теорії порядку, це межі підмножини в частково впорядкованій множині.
Визначення
ред.Для підмножини частково впорядкованої множини :
Міноранта чи нижня межа — елемент , такий що .
Мажоранта чи верхня межа — елемент , такий що .
Пов'язані визначення
ред.Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини , називається найменший елемент , який є мажорантою .
- Позначається .
Більш формально:
- — множина мажорант , тобто елементів , рівних чи більших за всі елементи
Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини , називається найбільший елемент , який є мінорантою .
- Позначається .
Зауваження
ред.- Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
- Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
- Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.
- Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
- І навпаки, для підмножини :
- якщо , то є найменшим елементом та мінімумом , позначається .
- якщо , то є найбільшим елементом та максимумом , позначається .
Приклади
ред.- На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум. такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
- Для множини
- ; .
- Множина додатних раціональних чисел не має точної верхньої грані в , точна нижня грань .
- Множина раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в , але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то
- та .
Теорема про грані
ред.Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу — нижню грань. Тобто існує та такі, що
Властивості
ред.- З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини , існує .
- З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини , існує .
- Дійсне число є тоді й лише тоді, коли:
- є верхня грань тобто для всіх елементів , ;
- Для будь-якого знайдеться , такий, що .(тобто до можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини )
- Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.
Див. також
ред.Джерела
ред.- Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
- Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
- Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)