Верхня та нижня межа

(Перенаправлено з Верхня межа)

Верхня та нижня межа (мажоранта та міноранта) — в теорії порядку, це межі підмножини в частково впорядкованій множині.

Множина, її верхні межі та супремум.

Визначення

ред.

Для підмножини   частково впорядкованої множини   :

Міноранта чи нижня межа   — елемент  , такий що  .

Мажоранта чи верхня межа   — елемент  , такий що  .

Пов'язані визначення

ред.

Верхньою гранню, точною верхньою межею чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини  , називається найменший елемент  , який є мажорантою  .

Позначається  .

Більш формально:

  — множина мажорант  , тобто елементів  , рівних чи більших за всі елементи  
 

Нижньою гранню, точною нижньою межею чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини  , називається найбільший елемент  , який є мінорантою  .

Позначається  .

Зауваження

ред.
  • Для підмножини може не існувати міноранти чи мажоранти.
  • Для підмножини при наявності мінорант/мажорант може не існувати інфімума/супремума.
  • Для підмножини в якої існують інфімум чи супремум, вони є єдиними, але можуть не належати множині.
  • Для підмножини в якої існують найменший чи найбільший елементи, то вони є інфімумом та супремумом, відповідно.
  • І навпаки, для підмножини  :
    • якщо  , то   є найменшим елементом та мінімумом  , позначається  .
    • якщо  , то   є найбільшим елементом та максимумом  , позначається  .

Приклади

ред.
  • На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум.   такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
  • Для множини  
 ;  .
  • Множина додатних раціональних чисел   не має точної верхньої грані в  , точна нижня грань  .
  • Множина   раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в  , але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то
  та  .

Теорема про грані

ред.

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу — нижню грань. Тобто існує   та   такі, що

 
 

Властивості

ред.
  • З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини  , існує  .
  • З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини  , існує  .
  • Дійсне число   є   тоді й лише тоді, коли:
    1.   є верхня грань   тобто для всіх елементів  ,  ;
    2. Для будь-якого   знайдеться  , такий, що  .(тобто до   можна скільки завгодно «близько підібратися» з множини  )
  • Аналогічне твердження справджується для точної нижньої грані.

Див. також

ред.

Джерела

ред.