Істотний інфімум та істотний супремум

Концепції істотного супремуму і істотного інфімуму пов'язані з поняттями супремуму і інфімуму, але пристосовані до теорії міри і функціонального аналізу, де користувач часто працює з твердженнями не чинними для всіх елементів множини, але швидше майже скрізь, тобто, окрім як на множині міри нуль.

Визначення

Нехай $f:X\to \mathbb {R}$ буде дійснозначна функція визначена на множині X. Дійсне число a зветься верхньою межею для $f$ якщо $f(x)\leq a\forall x\in X,$ тобто, якщо множина

f^{-1}(a,\infty )=\{x\in X:f(x)>a\}

є порожньою. Нехай

U_{f}=\{a\in \mathbb {R} :f^{-1}(a,\infty )=\emptyset \}\,

буде множина верхніх меж $f.$ Тоді супремум $f$ визначено через

\sup f=\inf U_{f}\,

якщо множина верхніх меж $U_{f}$ непорожня і $\sup f=+\infty$ інакше.

До того ж припустимо, що $(X,\Sigma ,\mu )$ — вимірний простір і, для простоти, припустимо, що функція $f$ є вимірною. Число $a$ називають істотною верхньою межею для $f$ якщо вимірна множина $f^{-1}(a,\infty )$ є множиною міри нуль,^[a] тобто, якщо $f(x)\leq a$ для майже всіх $x\in X.$ Нехай

U_{f}^{\mathrm {ess} }=\{a\in \mathbb {R} :\mu (f^{-1}(a,\infty ))=0\}\,

буде множиною істотних верхніх меж. Тоді істотний супремум визначають як

\mathrm {ess} \sup f=\inf U_{f}^{\mathrm {ess} }\,

якщо $U_{f}^{\mathrm {ess} }\neq \emptyset$ , і $\mathrm {ess} \sup f=+\infty$ інакше.

Так само визначають істотний інфімум як супремум істотних нижніх меж, що є,

\mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}\,

якщо множина істотних нижніх меж непорожня, і як $-\infty$ інакше.

Приклади

Розглянемо на дійсній осі міру Лебега і відповідну їй σ-алгебру $\Sigma .$ Визначимо функцію $f$ через формулу

f(x)={\begin{cases}5,&{\text{if }}x=1\\-4,&{\text{if }}x=-1\\2,&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}

Супремумом функції є 5, а інфімумом −4. Однак, функція набуває цих значень лише на множинах {1} і {−1} відповідно, обидві міри нуль. which are of measure zero. В інших точках функцію приймає значення 2. Отже істотний супремум і інфімум для цієї функції 2.

Як ще один приклад розглянемо

f(x)={\begin{cases}x^{3},&{\text{if }}x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&{\text{if }}x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}.

З точки зору міри Лебега, раціональні числа мають міру нуль, тому тут істотний супремум це $\pi /2,$ а істотний інфімум це $-\pi /2.$

Подивимось на функцію $f(x)=x^{3}$ визначену на всіх дійсних $x.$ Її істотним супремумом є $+\infty$ і її істотний інфімум це $-\infty .$

Властивості

Якщо $\mu (X)>0$ маємо $\inf f\leq \mathrm {ess} \inf f\leq \mathrm {ess} \sup f\leq \sup f$ . Якщо $X$ міри нуль $\mathrm {ess} \sup f=-\infty$ і $\mathrm {ess} \inf f=+\infty$ .^[1]
$\mathrm {ess} \sup(fg)\leq (\mathrm {ess} \sup f)(\mathrm {ess} \sup g)$ коли обидва множники праворуч невід'ємні.