Відкрити головне меню

Точна верхня межа (верхня грань) і точна нижня межа (нижня грань) — узагальнення понять максимуму та мінімуму відповідно.

Використовувані визначенняРедагувати

Мажоранта чи верхня межа множини   — число  , таке що  .

Міноранта чи нижня межа множини   — число  , таке що  .

ВизначенняРедагувати

Точною верхньою гранню, чи супремумом (лат. supremum — найвищий) підмножини   упорядкованої множини  , називається найменший елемент  , котрий дорівнює чи більший за всі елементи множини  . Іншими словами, супремум — це найменша з усіх верхніх граней. Позначається  .

Більш формально:

  — множина верхніх граней  , тобто елементів  , рівних чи більших за всі елементи  
 

Точною нижньою гранею, чи інфімумом (лат. infimum — найнижчий) підмножини   впорядкованої множини  , називається найбільший елемент  , котрий дорівнює чи менший за всі елементи множини  . Іншими словами, інфімум — це найбільша з усіх нижніх граней. Позначається  .

ЗауваженняРедагувати

Ці визначення нічого не говорять про те, чи належить   й   множині   чи ні.

У випадку  , говорять, що   є максимумом (найбільшим елементом)  , позначається  .

У випадку  , говорять, що   є мінімумом (найменшим елементом)  , позначається  .

Див. Найбільший та найменший елемент.

ПрикладиРедагувати

  • На множині всіх раціональних чисел, більших п'яти, не існує мінімуму, проте існує інфінум.   такої множини дорівнює п'яти. Інфінум не є мінімумом, так як п'ять не належить цій множині. Якщо ж визначити множину всіх натуральних чисел, більших п'яти, то у такої множини є мінімум і він дорівнює шести. Взагалі кажучи, у будь-якої непорожньої підмножини множини натуральних чисел існує мінімум.
  • Для множини  
 ;  .
  • Множина додатних раціональних чисел   не має точної верхньої грані в  , точна нижня грань  .
  • Множина   раціональних чисел, квадрат котрих менше двох, не має точної верхньої та нижньої грані в  , але якщо його розглядати як підмножину множини дійсних чисел, то
  та  .

Теорема про граніРедагувати

Формулювання: Непорожня множина, обмежена зверху, має верхню грань; обмежена знизу - нижню грань. Тобто існує   та   такі, що

 
 

ВластивостіРедагувати

  • З теореми про грані, для будь-якої обмеженої зверху підмножини  , існує  .
  • З теореми про грані, для будь-якої обмеженої знизу підмножини  , існує  .
  • Дійсне число   є   тоді й тільки тоді, коли:
    1.   є верхня грань   тобто для всіх елементів  ,  ;
    2. Для будь-якого   знайдеться  , такий, що  .(тобто до   можно скільки завгодно «близько підібратися» з множини  )
  • Аналогічне твердження вірне для точної нижньої грані.

Дивись такожРедагувати

ДжерелаРедагувати