Відкрити головне меню

Функція Діріхле — функція визначена на множині дійсних чисел, що набуває значення 1 якщо аргумент є раціональним числом і значення 0 якщо аргумент є числом ірраціональним. Формально визначення можна записати так:

де Q множина раціональних чисел, а R — множина дійсних чисел.

ВластивостіРедагувати

 

Інтеграли від функції ДіріхлеРедагувати

Інтеграл РіманаРедагувати

Функція Діріхле не є інтегровною за Ріманом в жодній області інтегрування, оскільки для будь-якого розбиття Z на області інтегрування всі проміжки розбиття   містять як раціональні, так і ірраціональні числа і тому нижня сума рівна

 

а верхня сума рівна

 

що дорівнює довжині області інтегрування. Оскільки дані твердження виконуються для будь-якого розбиття то границя нижньої суми, при прямуванні довжини найбільшого проміжку розбиття до нуля, не рівна границі верхньої. Отже функція не є інтегровною.

Інтеграл ЛебегаРедагувати

Функція Діріхле є простою, тобто приймає скінченну кількість значень, тому маємо рівність для інтеграла в області  

 ,

де   позначає міру Лебега.

Оскільки   як підмножина раціональних чисел має міру нуль, то також весь інтеграл рівний нулю:

 

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати