Нерівність Мінковського

Нері́вність Мінко́вського — це нерівність трикутника для векторного простору функцій з інтегрованим $p$ -им ступенем.

Формулювання

Нехай $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — метричний простір, і функції $f,g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ , тобто $\int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty$ , де $p\geq 1$ , і інтеграл розумієтся як інтеграл Лебега.

Тоді $(f+g)\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ , а також:

\left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}

.

Зауваження

Нерівність Мінковського показує, що в лінійному просторі $L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ можна ввести норму:

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{x}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p}

,

яка перетворює його на нормований, а також і метричний простір.

Евклідів простір

Розглянемо Евклідів простір $E=\mathbb {R} ^{n}$ або $\mathbb {C} ^{n}.$ $\ L^{p}$ -норма в цьому просторі: $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }$ , і тоді

\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in E

.

Простір l^p

Хай $X=\mathbb {N} ,\ {\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m$ — скінченна міра на $\mathbb {N}$ . Тоді множина всіх послідовностей $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , таких що

\|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty

,

називается $\ l^{p}$ .

Нерівність Мінковського для цього простору має вигляд:

\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}

.

Імовірнісний простір

Хай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — імовірнісний простір. Тоді $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ складається з випадкових величин з кінцевим $p$ -м моментом: $\mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty$ , де символ $\mathbb {E}$ позначає математичне сподівання.