Нерівність Гельдера

Нерівність Гельдера в функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це фундаментальна властивість просторів $L^{p}$ .

Формулювання

Нехай $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — простір з мірою, $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — простір функцій вигляду $f:X\to \mathbb {R}$ із скінченним інтегровним $p$ -им степенем.

Тоді в останньому визначена норма

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p},\qquad p\geq 1.

Нехай

f\in L^{p},\quad g\in L^{q},\quad p,q\geq 1,\quad {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.

Тоді

f\cdot g\in L^{1},\quad \|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

Доведення

Лема

Нехай $\phi :[0,\infty )\to [0;\infty )$ — неперервна строго зростаюча функція. Тоді існує обернена функція $\phi ^{-1}$ і тоді для всіх додатних $a$ і $b:$

ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy.

Нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді якщо $b=\phi (a).$ Для розуміння доведення достатньо просто намалювати з довільною $\phi .$

Власне доведення

Доведення нерівності Гельдера покладається на такий факт:

для всіх $p\in (1,\infty )$ і для будь-яких додатних сталих $a$ і $b,$

ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p'}}{p'}},

(1)

де ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1,$ тобто $p^{'}={\frac {p}{p-1}}.$

Для $p=p^{'}=2$ нерівність очевидна: оскільки $(a-b)^{2}\geq 0$ і звідси $a^{2}-2ab+b^{2}\geq 0,$ з цього $ab\leq {\frac {a^{2}}{2}}+{\frac {b^{2}}{2}}.$

Доведемо нерівність у загальному випадку. Використаємо лему наведену вище. Візьмімо $\phi (x)=x^{p-1}.$ Оскільки $p>1$ маємо $\phi (0)=0$ і $\phi$ є неперервною і строго висхідною функцією. Отже, $\phi ^{-1}(y)=y^{\frac {1}{p-1}}$ і з леми ми отримуємо

ab\leq \int _{0}^{a}x^{p-1}dx+\int _{0}^{b}y^{\frac {1}{p-1}}dy={\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{p'}}{p'}}.

Видно, що нерівність переходить у рівність тоді і лише тоді коли $b=a^{p-1},$ що тотожно до $b^{p'}=a^{p'(p-1)}=a^{p}.$

Покладемо $a={\frac {|x_{i}|}{d_{p}(x,0)}}$ і $b={\frac {|y_{i}|}{d_{p'}(y,0)}}.$ Завдяки (1) ми знаходимо

{\frac {|x_{i}y_{i}|}{d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0)}}\leq {\frac {|x_{i}|^{p}}{p[d_{p}(x,0)]^{p}}}+{\frac {|y_{i}|^{p'}}{p'[d_{p'}(y,0)]^{p'}}},

і звідси, беручи суму по всіх $i$ від 1 до $n,$

{\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|}{d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0)}}\leq {\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}}{p[d_{p}(x,0)]^{p}}}+{\frac {\Sigma _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p'}}{p'[d_{p'}(y,0)]^{p'}}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p'}}=1.

Отже, $\Sigma _{i=1}^{n}|x_{i}y_{i}|\leq d_{p}(x,0)d_{p'}(y,0),$ що і потрібно було довести.

Часткові випадки

Нерівність Коші — Буняковского

Поклавши $p=q=2$ , отримуємо Нерівність Коші—Буняковского для простору $L^{2}$ .

Евклідів простір

Розглянемо Евклідів простір $E=\mathbb {R} ^{n}$ або $\mathbb {C} ^{n}$ . $L^{p}$ -норма у цьому просторі має вигляд:

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top }

,

тоді: $\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall x,y\in E$ .

Простір l^p

Нехай $X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m$ — скінченна міра на $\mathbb {N}$ . Тоді множина всіх послідовностей $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ , таких що

\|x\|_{p}=\sum _{i=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty

,

називається $l^{p}$ . Нерівність Гельдера для цього простору має вигляд:

\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}\cdot \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{q}\right)^{1/q},\quad \forall x\in l^{p},y\in l^{q}

.

Ймовірнісний простір

Нехай $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — ймовірнісний простір. Тоді $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ складається з випадкових величин із скінченним $p$ -м моментом: $\mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty$ , де символ $\mathbb {E}$ позначає математичне сподівання.