Відкрити головне меню

Моме́нт випадкової величини́ — числова характеристика розподілу даної випадкової величини.

Зміст

ОзначенняРедагувати

Моментом n-того порядку дискретної випадкової величини  , яка приймає значення   з ймовірністю  , де  , називається число  , якщо цей ряд збігається абсолютно, тобто  .[1]

Величина   називається абсолютним моментом випадкової величини  .

Моментом n-того порядку неперервної випадкової величини   з густиною  , називається число  , якщо інтеграл збігається абсолютно, тобто  .[1]


Якщо дана випадкова величина   визначена на деякому імовірнісному просторі, то центра́льним моментом (k -го порядку) випадкової величини   називається величина

 

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

Початковим моментом k-го порядку називається величина:

 

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

 -им факторіальним моментом випадкової величини   називається величина
 

якщо математичне сподівання в правій частині цієї рівності визначене.

ЗауваженняРедагувати

Враховуючи лінійність математичного сподівання центральні моменти можна виразити через початкові, і навпаки. Наприклад:

 
 
 
 
 
Якщо визначені моменти  -го порядку, то визначені і всі моменти нижчих порядків  .

Геометрична інтерпретація деяких моментівРедагувати

  •   дорівнює математичному сподіванню випадкової величини і показує відносне розташування розподілу на числовій прямій.
  •   дорівнює дисперсії розподілу випадкової величини   і показує розкид розподілу довкола середнього значення.
  •  , будучи відповідним чином нормалізований є числовою характеристикою симетрії розподілу. Точніше, вираз
 
називається коефіцієнтом асиметрії.
  •   контролює, наскільки яскраво виражена верхівка розподілу в околі математичного сподівання. Величина
 
називається коефіцієнтом ексцесу розподілу в.в.  

Обчислення моментівРедагувати

 

якщо

 ,


а для дискретних розподілів із функцією ймовірностей  :


 


якщо  

  • Також початкові моменти випадкової величини можна обчислити використовуючи її характеристичну функцію  :
 
  • Якщо розподіл такий, що для нього в деякому околі нуля визначена твірна функція моментів,  , то початкові моменти можна обчислити використовуючи наступну формулу:
 

Можна також розглядати моменти в.в. для значень  , що не є цілими числами. Такий момент, момент, що розглядується як функція від дісного аргументу  , називається перетворення Мелліна.

Можна розглянути моменти багатовимірної випадкової величини. Тоді перший момент буде вектором тієї ж розмірності, другий — тензором другого порядку (див. матриця коваріації) над простором тієї ж розмірності (хоча можна розглянути і слід цієї матриці, що дає скалярне узагальнення дисперсії). Ітд.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Сеньо П. С. (2004). Розділ 4.3. Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 1-e). Київ: Центр навчальної літератури. с. 448. 


ЗноскиРедагувати

  1. а б Єжов С.М. (2001). Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник. (укр). К.: ВПЦ "Київський університет". Архів оригіналу за 2007-02-24. Процитовано 2015-10-10.