Відкрити головне меню

Нор́ма — це функція, що задана на лінійному просторі і є узагальненням поняття довжини вектора.

Простір із заданою на ньому нормою називається нормованим простором.

Зміст

Означення нормиРедагувати

Нормою у векторному просторі   над полем   називають відображення   що задовольняє наступним умовам:

  1.   тільки при   (невід'ємність)
  2.   де   — скаляр (однорідність)
  3.   (нерівність трикутника)

Ці умови також відомі як аксіоми норми.

ВластивостіРедагувати

За допомогою норми   векторний простір   одержує структуру метричного і топологічного нормованого векторного простору. А саме, відстань   Зазначимо, що для будь-яких   виконується   метрики на векторному просторі   з такою властивостю називаються трансляційно інваріантними. Найважливійший спеціальний випадок — це коли метричний простір   є повним відносно метрики означеної нормою, тобто коли   — повний нормований лінійний простір, або банахів простір.

Геометричний зміст нормиРедагувати

З геометричної точки зору, задання норми на   — це те й саме, що і задання її одиничної кулі   тобто множини всіх векторів, довжина яких не перевищує одиниці. Одинична куля норми — це випукла підмножина векторного простору   що містить нульовий вектор   серед своїх внутрішніх точок.

ПрикладиРедагувати

Евклідова нормаРедагувати

Докладніше: Евклідова норма

Нехай   — це  -вимірний координатний векторний простір. Евклідова норма на   визначається за формулою   де   — це стандартний скалярний добуток на   Перші дві аксіоми норми майже очевидні. Щодо третьої аксіоми, то вона випливає з нерівності Коші-Буняковського у   Одинична куля цієї норми — це звичайна одинична куля.

sup нормаРедагувати

Нехай   але цього разу визначимо норму за формулою   (це так звана sup норма). Всі три аксіоми норми легко перевіряються. У цьому випадку, одинична куля норми являє собою одиничний куб   що складається із тих векторів, всі координати яких містяться між   і  

Манхетенська нормаРедагувати

Нехай   але цього разу визначимо норму за формулою   Як і в попередньому прикладі, аксіоми норми легко перевіряються. Одинична куля цієї норми — це узагальнений октаедр, що є правильним політопом  -вимірного простору полярним до  -вимірного куба.

Еквівалентність нормРедагувати

Нехай   — дві норми визначені на одному і тому ж просторі  . Якщо існує таке дійсне   що   для будь-якого   то норма   називається підпорядкованою нормі   Якщо водночас і норма   підпорядкована нормі  , то такі дві норми називаються еквівалентними.

ДжерелаРедагувати