Правило паралелограма

В Евклідовій геометрії
ред.Сума квадратів довжин сторін паралелограма рівна сумі квадратів довжин його діагоналей.
В просторах зі скалярним добутком
ред.В векторних просторах зі скалярним добутком, це правило виглядає так:
де
В нормованих просторах
ред.В нормованих векторних просторах де немає векторного добутку, але є норма (за визначенням), якщо вона задовільняє правило паралелограма, то для цього простору можна ввести скалярний добуток:
для дійсного простору
- або або
для комплексного простору
Вищенаведені формули називаються поляризаційною тотожністю.
Зрозуміло, що норма визначена через скалярний добуток наступним чином задовільнятиме ці тотожності.
Поляризаційна тотожність
ред.Поляризаційна тотожність часто використовується для перетворення банахових просторів в гільбертові.
Узагальнення
ред.Якщо B — симетрична білінійна форма в векторному просторі, а квадратична форма Q визначена як
тоді
Джерела
ред.- Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)
- Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.
- Weisstein, Eric W. Правило паралелограма(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.