Відкрити головне меню

Вібрація струни є хвилею. Акустичний резонанс[en] змушує струну, що вібрує, створювати звук зі сталою частотою, тобто зі сталою висотою звуку. Якщо довжину або натяг струни правильно підібрано, звук, який вона утворює буде музичним тоном. Струни,що вібрують, є основою струнних музичних інструментів, таких як гітари, віолончелі та фортепіано.

Зміст

ХвиляРедагувати

Швидкість поширення хвилі по струні ( ) пропорційна квадратному кореню сили натягу струни ( ) і обернено пропорційна квадратному кореню лінійної густини ( ) струни:

 

Це співвідношення відкрив Вінченцо Галілей наприкінці 1500-их років.

ДоведенняРедагувати

Нехай   є довжиною відрізка струни,   задає її масу, а   задає її лінійну густину. Якщо горизонтальна складова натягу струни   є сталою, тоді сила, що діє на кожний бік відрізка струни визначається як

 
 

Якщо обидва кути є малими, тоді сила на кожному кінці є однаковою, результуюча горизонтальна сила дорівнює нулю. Із другого закону Ньютона для вертикальної складової, маса цього відрізка, помножена на її прискорення  , дорівнюватиме загальній силі, що діє на відрізок струни:

 

Поділивши цей вираз на   і підставивши перше та друге рівняння отримаємо

 

Тангенси кутів на кінцях струни дорівнюють куту нахилу на кінцях, із знаком мінус, відповідно до визначення кутів альфа і бета. Використавши цей факт і застосувавши перевпорядкування отримаємо

 

У границі, де   наближається до нуля, ліва частина відповідає визначенню другої похідної для  :

 

Це рівняння хвилі для  , а коефіцієнт другої похідної від часу дорівнює  ; тому

 

де   це середня скалярна швидкість поширення хвилі по струні (див. статтю про хвильове рівняння). Однак, це доведення є правильним лише для вібрацій із малою амплітудою; для вібрацій із великою амплітудою,   не є добрим наближенням для довжини відрізку струни, горизонтальний натяг струни не обов'язково є постійним , тоді горизонтальний натяг не буде правильно задаватися як  . [1]

Частота хвиліРедагувати

Оскільки швидкість поширення хвилі відома, можливо розрахувати частоту звуку, який утворює струна. Середня скалярна швидкість поширення хвилі дорівнює довжині хвилі   поділеній на період  , або помноженій на частоту  :

 

Якщо довжина хвилі дорівнює  , основна гармоніка утворена вібрацією, при якій вузли[en] є двома кінцями струни, тож   є половиною довжини хвилі основної гармоніки. Таким чином ми отримаємо Закони Мерсенна:

 

де   це натяг (в Ньютонах),   це лінійна густина (тобто, маса на одиницю довжини), і   де довжина відрізку струни, що вібрує. Таким чином:

  • чим коротша струна, тим вищою буде основна частота звучання
  • чим сильнішим буде натяг, тим вищою буде основна частота
  • чим легшою буде струна, тим вищою буде основна частота

Крім того, якщо ми візьмемо n-у гармоніку і задамо довжину як  , тоді ми легко можемо отримати вираз для частоти гармоніки n-го порядку:

 

І для струни із натягом T та густиною  , тоді матимемо:

 

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

ПосиланняРедагувати