Супремум-норма

Супремум-норма — в математичному аналізі, для дійснозначної чи комплекснозначної обмеженої функцій $f$ визначеної на множині $S$, це норма означена як невід'ємне число:

$\|f\|_{\infty }=\|f\|_{\infty ,S}=\sup \left\{\,|f(s)|:s\in S\,\right\}.$

Це найпоширеніша норма для неперервних функцій. Її деколи називають:

• нормою Чебишова для функцій або
• рівномірною нормою, оскільки збіжність за цією нормою еквівалентна рівномірній збіжності.

Якщо $f$ — неперервна функція на замкненому й обмеженому проміжку, або, загальніше на компактній множині, то вона обмежена, й супремум у наведеному вище визначенні досягається за другою теоремою Веєрштрасса, тож тоді можливо замінити цей супремум максимумом. У такому випадку цю норму також називають максимум-нормою (англ. maximum norm). Зокрема, якщо $x$ — це деякий такий вектор, що $x=\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)$ у скінченновимірному просторі координат, вона набуває вигляду:

$\|x\|_{\infty }:=\max \left(\left|x_{1}\right|,\ldots ,\left|x_{n}\right|\right).$

Це називають $\ell ^{\infty }$-нормою.

Пов'язані означення

Про́стір непере́рвних фу́нкцій — лінійний нормований простір, елементами якого є неперервні на відрізку $[a,b]$ функції (зазвичай позначають ${\mathrm {C} }[a,b]$, іноді $C^{0}[a,b]$ або $C^{(0)}[a,b]$ або $C(a,b)$) . Норма в цьому просторі визначається так:

$||x||_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|$

Властивості

• Якщо послідовність $x_{n}$ елементів з ${\mathrm {C} }[a,b]$ збігається в цьому просторі до деякої граничної функції $x(t)$, то $x_{n}\rightrightarrows x$ при $n\to \infty$.
  • Звідси: ${\mathrm {C} }[a,b]$ — банахів простір.
• Простір неперервних функцій сепарабельний: зліченну всюди щільну множину в ньому утворює множина всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами. Це твердження виходить як наслідок апроксимаційної теореми Веєрштрасса.
• В ${\mathrm {C} }[a,b]$ не виконується тотожність паралелограма, тому норма в ньому не породжує ніякого скалярний добуток.

Варіації та узагальнення

Аналогічно цей простір будується також і над областями та їх замиканнями. У разі некомпактної множини максимум треба замінити точною верхньою гранню.

Отже, простором неперервних обмежених функцій (вектор-функцій) $C(X,Y)$ називають множину всіх неперервних обмежених функцій $x:X\to Y$ зі введеною на ній нормою:

$\|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.$

Поряд з чебишовською нормою часто розглядають простір неперервних функцій з інтегральною нормою:

$\|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt$

У сенсі цієї норми простір неперервних на відрізку функцій вже не утворює повного лінійного простору. Фундаментальною, але не збіжною в ньому є, наприклад, послідовність $x_{n}$

$x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n}}\\nt,\quad t\in (-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}})\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n}}\end{cases}}$

Його поповненням є $L_{1}[a,b]$ — простір сумованих функцій.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М. : Наука, 1965.
• M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London : Academic Press, 1973.
• Иосида К.. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1967.