Диференціальне рівняння з частинними похідними

Диференціальне рівняння з частинними похідними (також відоме як рівняння математичної фізики) — диференціальне рівняння, що містить невідомі функції декількох змінних і їхні частинні похідні.

Вступ

Розглянемо порівняно просте рівняння з частинними похідними:

${\frac {\partial }{\partial x}}u(x,y)=0\,.$

З цього співвідношення випливає, що значення функції u(x,y) не залежить від x. Отже, загальний розв'язок рівняння є наступним:

$u(x,y)=f(y),\,$

де f — довільна функція змінної y. Аналогічне звичайне диференціальне рівняння має вигляд:

${\frac {df(y)}{dx}}=0\,$

і його розв'язок

$u(x,y)=c,\,$

де c — довільна константа (незалежна від x). Ці два приклади показують, що загальний розв'язок звичайного диференціального рівняння містить довільні константи, а загальний розв'язок диференціального рівняння з частинними похідними містить довільні функції.

Визначення

Диференціальним рівнянням з частинними похідними називається рівняння виду

$F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m},u,u_{x_{1}},\ldots ,u_{x_{m}},\ldots ,u_{x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\ldots x_{m}^{a_{m}}}^{(k)},\ldots )=0,$

де F — задана дійсна функція точки $(x_{1},x_{2},...,x_{m})$ області D евклідового простору $E_{m},\,m\geqslant 2$ і дійсних змінних $u_{x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\ldots x_{m}^{a_{m}}}^{(k)}={\frac {\partial \;^{k}u(x_{1}^{},x_{2},...,x_{m})}{\partial \;x_{1}^{\alpha _{1}}\partial \;x_{2}^{\alpha _{2}}...\partial \;x_{m}^{\alpha _{m}}}}.$ (u(x) - невідома функція) з невід'ємними цілочисловими індексами $\sum \limits _{i=1}^{m}{\alpha _{i}=k\,\,\;(k=0,\ldots n-}$ і принаймні одна з похідних функції F по змінній, що відповідає найвищому порядку часткових похідних, відмінна від нуля; натуральне число m називається порядком рівняння. Визначена у області D задання рівнянням функція u(x), неперервна разом з своїми частинними похідними, що входять в це рівняння, і що обертає його в тотожність, називається регулярним розв'язком. Разом з регулярними розв'язками в теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними важливе значення мають розв'язки, що перестають бути регулярними поблизу ізольованих точок або многовидів особливого вигляду: до них належать зокрема, елементарні (фундаментальні) розв'язки. Вони дозволяють будувати широкі класи регулярних розв'язків (так званих потенціалів) і встановлювати їх структурні і якісні властивості.

У випадку неперервності часткових похідних F відносно змінних $u_{x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\ldots x_{m}^{a_{m}}}^{(n)}$ (тобто відносно часткових похідних найвищого порядку), важливе значення відіграє форма порядку m:

$k(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})=\sum {\frac {\partial F}{\partial u_{x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\ldots x_{m}^{a_{m}}}^{(n)}}}\lambda _{1}^{a_{1}}\lambda _{2}^{a_{2}}\ldots \lambda _{m}^{a_{m}}.$

Дана форма називається характеристичною формою, що відповідає рівнянню з частинними похідними.

Лінійні рівняння

Диференціальне рівняння з частинними похідними називається лінійним, якщо воно лінійне відносно невідомої функції і всіх її частинних похідних, тобто функція F з означення лінійна відносно аргументів $u_{x_{1}^{a_{1}}x_{2}^{a_{2}}\ldots x_{m}^{a_{m}}}^{(k)}.$

Класифікація рівнянь другого порядку

Лінійне рівняння 2-го порядку має вигляд:

$\sum \limits _{i,j=1}^{m}{A_{ij}(x)u_{x_{i}^{}x_{j}}+\sum \limits _{i=1}^{m}{B_{i}(x)u_{x_{i}}+C(x)u=f(x).}}$ де $A_{ij},B_{i},C,f$ — задані в області D дійсні функції точки x.

Для лінійного рівняння 2-го порядку характеристична форма є квадратичною:

$Q(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})=\sum \limits _{i=1}^{m}A_{ij}\lambda _{i}\lambda _{j}.$

У кожній точці $x\in D$ квадратична форма Q за допомогою невиродженого афінного перетворення змінних $\lambda _{i}=\lambda _{i}(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m})\quad i=1,\ldots ,m$, може бути приведена до канонічного виду

$Q=\sum \limits _{i=1}^{m}\mathrm {A} _{i}\sigma _{i}^{2}.$

де коефіцієнти $\mathrm {A} _{i}\quad i=1,\ldots ,n,$ приймають значення 1, -1, 0, причому число від'ємних коефіцієнтів (індекс інерції) і число нульових коефіцієнтів (дефект форми) є афінними інваріантами.

Коли всі $\mathrm {A} _{i}=1$ або всі $\mathrm {A} _{i}=-1$ тобто коли форма Q відповідно додатно або від'ємно визначена (дефінітна), рівняння називається еліптичним в точці $x\in D$. Якщо один з коефіцієнтів $\mathrm {A} _{i}$ від'ємний, а всі інші додатні (або навпаки), то рівняння називається гіперболічним в точці х. У випадку коли $l,\,1<l<n-1$ коефіцієнтів $\mathrm {A} _{i}$ — додатні, а решта n - l від'ємні, рівняння називається ультрагіперболічним. Якщо ж хоча би один з цих коефіцієнтів (але не всі) рівний нулю то рівняння називається параболічним в точці х. Кажуть, що у області визначення D рівняння є рівнянням еліптичного, гіперболічного або параболічного типу, якщо воно відповідно еліптичне, гіперболічне або параболічне у кожній точці цієї області. Еліптичне в області D рівняння називається рівномірно еліптичним, якщо існують дійсні числа $k_{0}$ і k_1 однакового знаку такі, що

$k_{0}\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}\leqslant Q(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})\leqslant k_{1}\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}^{2}$

для всіх $x\in D$. Коли в різних частинах області D рівняння належить до різних типів, то воно називається рівнянням змішаного типу в цій області. У випадку лінійного рівняння від двох змінних тип рівняння в точці визначити досить просто. Лінійне рівняння другого порядку, залежне від двох змінних має вигляд:

$A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+...=0,$

де A, B, C - коефіцієнти, залежні від змінних x і y, а крапки позначають члени, залежні від x, y, u і часткових похідних першого порядку: ${\partial u}/{\partial x}$ і ${\partial u}/{\partial y}$. Це рівняння схоже на рівняння конічного перетину:

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.$

Так само, як конічні перетини розділяються на еліпси, параболи і гіперболи, залежно від знаку дискримінанта $D=B^{2}-AC$, класифікуються рівняння другого порядку в заданій точці:

1. $D=B^{2}-AC\,>0$ — Гіперболічне рівняння
2. $D=B^{2}-AC\,<0$ — Еліптичне рівняння
3. $D=B^{2}-AC\,=0$ — Параболічне рівняння (тут передбачається, що в даній точці коефіцієнти A, B, C не рівні одночасно нулю).

У разі, коли всі коефіцієнти A, B, C — сталі, рівняння має один і той же тип в усіх точках площини змінних x і y. У випадку, якщо коефіцієнти A, B, C неперервно залежать від x і y, множини точок, в яких дане рівняння є гіперболічного (еліптичного) типу, утворює на площині відкриту область, що називається гіперболічною (еліптичною), а множина точок, в яких рівняння відноситься до параболічного типа, є замкнутою. Рівняння називається змішаним, якщо в деяких точках площини воно гіперболічне, а в деяких - еліптичне. В цьому випадку параболічні точки, як правило, утворюють лінію, звану лінією зміни типу або лінією виродження.

Існування і єдиність розв'язку

Хоча відповідь на питання про існування і єдиність розв'язку звичайного диференціального рівняння має цілком вичерпну відповідь (теорема Пікара — Лінделефа), для рівняння з частинними похідними однозначної відповіді на це питання немає. Існує загальна теорема (теорема Коші-Ковалевськоі), яка стверджує, що задача Коші для будь-якого рівняння з частинними похідними, аналітичного щодо невідомих функцій і їх похідних має єдиний аналітичний розв'язок. Проте, існують приклади лінійних рівнянь з частинними похідними, що не мають розв'язку, коефіцієнти яких мають похідні всіх порядків. Навіть якщо розв'язок існує і є єдиним, він може мати небажані властивості.

Розглянемо послідовність задач Коші (залежну від n) для рівняння Лапласа:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\,$

з початковими умовами:

$u(x,0)=0,\,$

${\frac {\partial u}{\partial y}}(x,0)={\frac {\sin nx}{n}},\,$

де n — ціле число. Похідна від функції u по змінній y рівномірно прямує до 0 по x при зростанні n, проте розв'язком рівняння є

$u(x,y)={\frac {(\sinh ny)(\sin nx)}{n^{2}}}.\,$

Розв'язок прямує до нескінченності, якщо nx не кратно $\pi$ для будь-якого ненульового значення y. задача Коші для рівняння Лапласа називається некоректною, оскільки немає неперервної залежності розв'язку від початкових даних.

Приклади

Одновимірне рівняння теплопровідності

Рівняння, що описує розповсюдження тепла в однорідному стрижні має вигляд

${\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\,$

де u(t,x) - температура, і $\alpha$ — додатна константа, що описує швидкість розповсюдження тепла. Задача Коші ставиться таким чином:

$u(0,x)\,=f(x)$,

де f(x) — довільна функція.

Рівняння коливання струни

• ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

Тут u(t,x) - зсув струни з положення рівноваги, або надмірний тиск повітря в трубі, або магнітуда електромагнітного поля в трубі, а c — швидкість розповсюдження хвилі. Для того, щоб сформулювати задачу Коші в початковий момент часу, слід задати зсув і швидкість струни в початковий момент часу:

$u(0,x)=f(x)\,$

$u_{t}(0,x)=g(x)\,$

Двовимірне рівняння Лапласа

Рівняння Лапласа для невідомої функції двох змінних має вигляд:

• ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$

Його розв'язки називаються гармонічними функціями.

Зв'язок з аналітичними функціями

Дійсна і уявна частини будь-якої голоморфної функції $f$ комплексної змінної $z=x+iy$ є спряжено гармонічними функціями: вони обидві задовольняють рівнянню Лапласа і їх градієнти ортогональні. Якщо f=u+iv, то умови Коші — Рімана стверджують наступне:

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\quad {\frac {\partial v}{\partial x}}=-{\frac {\partial u}{\partial y}},\,$

Додаючи і віднімаючи рівняння один з одного, одержуємо:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0,\quad {\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}=0.\,$

Також можна показати, що будь-яка гармонічна функція є дійсною частиною деякої аналітичної функції.

Граничні умови

Граничні умови ставляться таким чином: знайти функцію u, яка задовольняє рівнянню Лапласа у всіх внутрішніх точках області S, а на межі області $\partial S$ — деякій умові. Залежно від виду умови розрізняють такі краєві задачі:

• $u|_{\partial S}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ — задача Діріхле
• ${\frac {\partial u}{\partial n}}{\big |}_{\partial S}=\psi (x,y),\quad x,y\in \partial S$ — задача Неймана.

Рівняння Гінзбурга — Ландау

Рівняння Гінзбурга — Ландау використовуються для моделювання надпровідності. Рівняння має вигляд

${\frac {\partial }{\partial t}}A(x,t)=A+(1+ib){\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}-(1+ic)|A|^{2}A.$

Розв'язок рівнянь математичної фізики

Існує два види методів розв'язування даного типа рівнянь:

• аналітичні, при яких результат виводиться різними математичними перетвореннями;
• чисельні, при яких одержаний результат відповідає дійсному із заданою точністю.

Аналітичний розв'язок

Рівняння коливань

Розглянемо задачу про коливання струни довжини $L$. Вважатимемо, що на кінцях струни функція $u(x,t)$ набуває значення нуль:

$u(x,t){\big |}_{x=0}=u(x,t){\big |}_{x=L}=0$

У початковий момент часу задамо початкові умови:

$u(x,t){\big |}_{t=0}=f(x)$

${\dfrac {\partial u}{\partial t}}(x,t){\big |}_{t=0}=g(x)$

Представимо розв'язок у вигляді:

$u(x,t)\,=X(x)T(t)$

Після підстановки в початкове рівняння коливань, розділимо на добуток $X(x)T(t)$ одержуємо:

${\dfrac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\dfrac {X''(x)}{X(x)}}$

Права частина цього рівняння залежить від $t$, ліва — від $x$, отже це рівняння може виконуватися лише тоді, коли обидві його частини рівні сталій величині, яку позначимо через $-\lambda ^{2}$:

${\dfrac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}={\dfrac {X''(x)}{X(x)}}=-\lambda ^{2}$

Звідси знаходимо рівняння для $X(x)$:

$X''(x)+\lambda ^{2}X(x)\,=0$

Нетривіальні розв'язки цього рівняння за однорідних краєвих умов можливі тільки при $\lambda ={\dfrac {\pi n}{L}}$ і мають вигляд:

$X_{n}(x)\,=sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)$

Розглянемо рівняння для знаходження $T(t)$:

$T''(t)+a^{2}\lambda _{n}^{2}T(t)\,=0$

Його розв'язок:

$T(t)\,=A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)$

Отже, кожна функція вигляду

$u(x,t)\,=\left[A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)$

є рішенням хвильового рівняння.

Щоб задовольнити початкові умови, утворимо ряд:

$u(x,t)\,=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}cos\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)+B_{n}sin\left({\dfrac {a\pi n}{L}}t\right)\right]sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)$

Підстановка в початкові умови дає:

$\sum \limits _{n=0}^{\infty }A_{n}sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)=f(x),\quad \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {a\pi n}{L}}B_{n}sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)=g(x)$

Останні формули є розкладом функцій $f(x)$ і $g(x)$ у ряд Фур'є на відрізку $[0,L]$. Коефіцієнти розкладу обчислюються за формулами:

$A_{n}={\dfrac {2}{L}}\int \limits _{0}^{L}f(x)sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx,\quad B_{n}={\dfrac {2}{n\pi a}}\int \limits _{0}^{L}g(x)sin\left({\dfrac {\pi nx}{L}}\right)dx$

Чисельний розв'язок

Рівняння коливань струни

Цей спосіб рішення називається методом скінченних різниць. Цей метод заснований на визначенні похідної функції $y=y(x)$:

$~y'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Delta y \over \Delta x}=\lim _{\Delta x\to 0}{{f(x+\Delta x)}-f(x) \over \Delta x}$

Якщо є функція $u=u(x,t)$, то часткова похідна буде наступна:

$~u_{x}'={\partial u \over \partial x}=\lim _{\Delta x\to 0}{{u(x+\Delta x,t)-u(x,t)} \over \Delta x}$

Оскільки $\Delta x$ ми використовуємо достатньо малий, знаки меж можна відкинути. Тоді одержимо такі вирази:

$~u_{x}'\approx {{u(x+\Delta x,t)-u(x,t)} \over \Delta x}$

$~u_{t}'\approx {{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)} \over \Delta t}$

$u(x,t)=u_{i}^{j}$

$u(x+\Delta x,t)=u_{i+1}^{j}$

$u(x,t+\Delta t)=u_{i}^{j+1}$

$\Delta x=h$,

$\Delta t=\tau$

Тоді попередні вирази можна записати так: $u_{x}'\approx {{u_{i+1}^{j}-u_{i}^{j}} \over h}$, $u_{t}'\approx {{u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j}} \over \tau }$

Ці вирази називають правими диференціалами. Їх можна записати і по-іншому: $u_{x}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i-1}^{j}} \over h}$, $u_{t}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i}^{j-1}} \over \tau }$ - це ліві диференціали.

Підсумувавши обидва вирази одержимо наступне:

$2u_{x}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i-1}^{j}+u_{i+1}^{j}-u_{i}^{j}} \over h}$

$2u_{t}'\approx {{u_{i}^{j}-u_{i}^{j-1}+u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j}} \over \tau }$

з яких одержується:

$u_{x}'\approx {{u_{i+1}^{j}-u_{i-1}^{j}} \over 2h}$

$u_{t}'\approx {{u_{i}^{j+1}-u_{i}^{j-1}} \over 2\tau }$

Аналогічно можна одержати і диференціали другого порядку:

$u_{xx}^{''}={{\partial ^{2}u} \over {\partial x^{2}}}\approx {{u_{i-1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i+1}^{j}} \over h^{2}}$

$u_{tt}^{''}={{\partial ^{2}u} \over {\partial t^{2}}}\approx {{u_{i}^{j-1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j+1}} \over \tau ^{2}}$

Рівняння коливань струни записується в такій формі: ${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$.

Додаткові умови задаються у вигляді: $u|_{x=0}=f_{1}(t)$, $u|_{x=l}=f_{2}(t)$, $u|_{t=0}=g_{1}(x)$, $u_{t}|_{t=0}=g_{2}(x)$,

де $f_{1}(t)$ і $f_{2}(t)$ — позиції кінців (кріплень) струни в часі

а $g_{1}(x)$ і $g_{2}(x)$ — початковий стан і швидкість струни з якої ми можемо отримати стан струни в наступний момент часу за формулою

$u_{i}^{j+1}=\tau \cdot g_{2}(x)+u_{i}^{j}$.

У обчисленнях використовують дискретизацію струни (розділяють її на однакові інтервали, довжина яких $h$.

Значення функції для інших $x$ і $t$ можна обчислити з рівняння коливань струни:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$

${{\partial ^{2}u} \over {\partial t^{2}}}={{u_{i}^{j+1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j-1}} \over \tau ^{2}}$

${{\partial ^{2}u} \over {\partial x^{2}}}={{u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}} \over h^{2}}$

${{u_{i}^{j+1}-2u_{i}^{j}+u_{i}^{j-1}} \over \tau ^{2}}=a^{2}{{u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}} \over h^{2}}$

$u_{i}^{j+1}={\tau ^{2}a^{2} \over h^{2}}\left(u_{i+1}^{j}-2u_{i}^{j}+u_{i-1}^{j}\right)+2u_{i}^{j}-u_{i}^{j-1}$

Таким чином, ми одержали схему, за якою можна знайти значення функції для будь-яких $x$ і $t$, використовуючи значення функції при попередніх $x$ і $t$.

Цей метод дає наближену відповідь, ступінь точності $\Theta (\tau ^{2}+h^{2})$. Для достатньо точних результатів необхідно використовувати інтервали $h<0.1$ і $\tau \leq {h^{2} \over 2}$.

Див. також

• Диференціальне рівняння
• Звичайне диференціальне рівняння
• Математична фізика

Література

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1971. — 512 с.
• Гончаренко В. М. Основи теорії рівнянь з частинними похідними. — К., 1996
• Курант Р., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1964;
• Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. — М.:Высш. шк., 1977. — 432 с.
• Перестюк М. О., Маринець В. В. Теорія рівнянь математичної фізики. — К.: Либідь, 2002. — 336 с.
• Рівняння математичної фізики (практикум) : навч. посіб. / О. І. Бобик, І. О. Бобик, В. В. Литвин ; за наук. ред. В. В. Пасічника ; М-во освіти і науки України. – Л. : Новий Світ-2000, 2010. – 253 с. – (Комп'ютинг). – Бібліогр.: с. 252 (10 назв). – ISBN 978-966-418-122-5
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .
• John, F. (1982), Partial Differential Equations (4th ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90609-6 .
• Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9 .
• Polyanin, A. D. & Zaitsev, V. F. (2004), Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-355-3 .