Відкрити головне меню

Рівномірна збіжність послідовності функцій — властивість послідовності , де — довільна множина, метричний простір, збігається до функції (відображення) , що означає, що для будь-якого існує такий номер , що для всіх номерів і всіх точок виконується нерівність


Ця умова рівнозначна тому, що

Зазвичай позначається. називається рівномірною границею послідовності функцій на множині X.

Зміст

ПрикладРедагувати

  • Послідовність  ,   рівномірно збігається на будь-якому відрізку  ,   і не збігається рівномірно на відрізку  .

ВластивостіРедагувати

  • Якщо   — нормований простір і послідовності відображень   і  ,   рівномірно збігаються на множині  , то послідовності   також як і   при будь-яких   також рівномірно збігаются на  .
  • Для дійсно-значних функцій, послідовність відображень  , рівномірно збігається на множині   та   обмежене відображення, то послідовність   також рівномірно збігається на  .
  • Якщо   — топологічний простір,   — метричний простір та послідовність неперервних в точці   відображень   рівномірно збігається на множині   до відображеня  , то це відображення також неперервно в точці  .
  • Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (за Лебегом) функцій   рівномірно збігається на відрізку   до функції  , то ця функція також інтегровна за Ріманом (відповідно за Лебегом), і для кожного   має місце рівність
         
    і збіжність послідовності функцій
         
    на відрізку   до функції
         
    рівномірна.
  • Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку   функцій  , збігається у деякій точці  , a послідовність їх похідних рівномірно збігається на  , то послідовність   також рівномірно збігається на  , її границя є неперервно диференційовною функцією на цьому відрізку.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
  • Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.