Теорема Єгорова

Теорема Єгорова (теорема Северіні — Єгорова) — твердження в теорії міри про зв'язок збіжності майже всюди і рівномірної збіжності.

Твердження теореми ред.

Нехай $(X,{\mathcal {S}},\mu )$ — вимірний простір, в $E$ — підмножина $X$ скінченної міри. Якщо послідовність $f_{n}$ вимірних функцій збігається майже всюди до функції $f$ , тоді для довільного числа $\delta >0$ існує множина $E_{\delta }$ така що $\mu (E_{\delta })<\delta$ і збіжність $f_{n}\rightarrow f$ є рівномірною на доповненні $E-E_{\delta }$ .

Доведення ред.

Нехай $E_{i,j}=\{x\in E:|f_{j}(x)-f(x)|<1/i\}.$ Оскільки $f_{n}\to f$ майже всюди, існує множина $S$ для якої $\mu (S)=0$ і для $i\in \mathbb {N}$ і $x\in E-S$ існує таке $m\in \mathbb {N} ,$ що з $j>m$ випливає $|f_{j}(x)-f(x)|<1/i$ . Це можна записати як:

E-S\subset \cup _{m\in \mathbb {N} }\cap _{j>m}E_{i,j},

або еквівалентно,

\cap _{m\in \mathbb {N} }\cup _{j>m}(E-E_{i,j})\subset S.

Оскільки $\{\cup _{j>m}(E-E_{i,j})\}_{m\in \mathbb {N} }$ є спадною послідовністю вкладених множин скінченної міри, перетин яких є пустою множиною, із неперервності зверху одержується

\mu (\cup _{j>m}(E-E_{i,j})){\xrightarrow[{m\to \infty }]{}}0.

Тому для довільного $i\in \mathbb {N}$ , можна вибрати $m_{i},$ так що

\mu (\cup _{j>m_{i}}(E-E_{i,j}))<{\frac {\delta }{2^{i}}}.

Нехай $E_{\delta }=\cup _{i\in \mathbb {N} }\cup _{j>m_{i}}(E-E_{i,j}).$ Тоді $\mu (E_{\delta })\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (\cup _{j>m_{i}}(E-E_{i,j}))<\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {\delta }{2^{i}}}=\delta .$ Збіжність $f_{n}\to f$ є рівномірною на множині $E-E_{\delta }$ . Справді для довільного $\varepsilon >0$ , існує $n$ таке що $1/n<\varepsilon$ . Якщо $x\in E-E_{\delta }$ , тоді $x\in \cap _{i\in \mathbb {N} }\cap _{j>m_{i}}E_{i,j},$ звідки випливає, що для $j>m_{n}$ , $x\in E_{n,j}$ ; тобто, $|f_{j}(x)-f(x)|<1/n<\varepsilon$ . Тому для довільного $\varepsilon >0$ існує $N$ (визначене вище як $m_{n}$ ), що для $j>N$ виконується $|f_{j}(x)-f(x)|<\varepsilon$ для довільного $x\in E-E_{\delta }$ . Тобто на множині $x\in E-E_{\delta }$ збіжність є рівномірною, що й доводить теорему.