Відкрити головне меню

Теорема Єгорова (теорема Северіні — Єгорова) — твердження в теорії міри про зв'язок збіжності майже всюди і рівномірної збіжності.

Твердження теоремиРедагувати

Нехай  вимірний простір, в  підмножина   скінченної міри. Якщо послідовність   вимірних функцій збігається майже всюди до функції  , тоді для довільного числа   існує множина   така що   і збіжність   є рівномірною на доповненні  .

ДоведенняРедагувати

Нехай   Оскільки   майже всюди, існує множина   для якої   і для   і   існує таке   що з   випливає  . Це можна записати як:

 

або еквівалентно,

 

Оскільки   є спадною послідовністю вкладених множин скінченної міри, перетин яких є пустою множиною, із неперервності зверху одержується

 

Тому для довільного  , можна вибрати   так що

 

Нехай   Тоді   Збіжність   є рівномірною на множині  . Справді для довільного  , існує   таке що  . Якщо  , тоді   звідки випливає, що для  ,  ; тобто,  . Тому для довільного   існує   (визначене вище як  ), що для   виконується   для довільного  . Тобто на множині   збіжність є рівномірною, що й доводить теорему.

Дивіться такожРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати