Відкрити головне меню

Теорема Діні — твердження в математичному аналізі, що для компактного метричного простору E, якщо зростаюча (відповідно спадна) послідовність fn дійсних неперервних функцій поточково збігається до неперервної функції g, то вона збігається до цієї функції g рівномірно.

ДоведенняРедагувати

Припустимо, що послідовність зростаюча.

Для довільного   і довільної точки   існує такий номер   що при   виконується нерівність  . Так як g і   неперервні, у точки t існує такий окіл V (t), що з   випливає   і  

Таким чином, для будь-якої точки   ми маємо  

Виберемо тепер скінченну множину точок   так, щоб околи   покривали Е (це можливо, зважаючи на компактність E), і нехай   — найбільший з номерів  

Тоді будь-яка точка   належить принаймні одному з околів   тому при   справедливі нерівності  

ЛітератураРедагувати

  • Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964 (рос.)