Компа́ктний про́стір — це такий топологічний простір, що для будь-якого його відкритого покриття знайдеться скінчене підпокриття.

В топології, компактні простори за своїми властивостями нагадують скінченні множини в теорії множин.

В математичному аналізі компактна множина — це обмежена й замкнута множина в .

Пов'язані визначення

ред.

Властивості

ред.

Загальні властивості

ред.

Властивості компактних метричних просторів

ред.

Приклади компактних множин

ред.
  • в будь-якому топологічному просторі множина, що складається з однієї точки, а також будь-яка скінченна, завжди компактна.
  • замкнені й обмежені множини в  
  • теорема Асколі — Арцела дає характеризацію компактних множин для деяких функціональних просторів. Розглянемо простір   неперервних функцій на метричному компактному просторі   з нормою  . Тоді замикання множини функцій   в   компактне тоді і тільки тоді, коли   рівномірно обмежена і рівностепенево (одностайно) неперервна.
  • простір Стоуна булевої алгебри
  • компактифікація топологічного простору
  • Компактні групи Лі

Історія

ред.

Бікомпактний простір — термін, введений П. С. Александровим як посилення введеного М.Фреше поняття компактного простору: топологічний простір компактний — в первинному смислі слова — якщо в кожному зліченному відкритому покритті цього простору міститься його скінченне підпокриття. Проте подальший розвиток математики показав, що поняття бікомпактності настільки важливіше за первинне поняття компактності, що в наш час під компактністю розуміють саме бікомпактність, а компактні в старому смислі простори називають зліченно-компактними. Обидва поняття рівносильні в застосуванні до метричних просторів.

Див. також

ред.

Джерела

ред.