Квадратична форма

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

ОзначенняРедагувати

Нехай   є полем. Квадратичною формою над полем   називається однорідний многочлен другого степеня, тобто:

 

Якщо характеристика поля не є рівною 2, то як правило у цьому виразі   В іншому випадку можна ввести нові коефіцієнти   Для полів характеристики 2 таку заміну не можливо провести.

Квадратичну форму від n змінний називають n-арною, зокрема бінарною для n = 2.

Квадратичні простори і білінійні формиРедагувати

Еквівалентно , нехай   є скінченновимірним векторним простором  . Тоді квадратичною формою називається відображення   для якого   для всіх   і відображення   є білінійним, тобто лінійним по аргументах   і  .

Простір   із введеною квадратичною формою називається квадратичним простором.

Для полів характеристика яких не є рівною 2 квадратична форма породжує симетричну білінійну форму:

 

Ця білінійна форма називається асоційованою білінійною формою. Навпаки симетрична білінійна форма   породжує квадратичну форму:

 

Для полів характеристики 2 можна ввести білінійну форму   пов'язану із квадратичною але у цьому випадку навпаки ця форма не визначає початкову квадратичну форму оскільки  

Асоційовані білінійні форми дозволяють записати квадратичну форму як однорідний многочлен другого степеня від координат вектора у деякому базисі  . А саме:

 

де   — розклад вектора через елементи базису, а  

Для двох квадратичних просторів   і   лінійне відображення називається ізометрією якщо воно є ін'єктивним і   Якщо це лінійне відображення є ізоморфізмом, то простори називаються ізометричними. Ізометричні простори є ізоморфними як квадратичні простори.

Матриця квадратичної формиРедагувати

Нехай   є квадратичною формою.

Матрицю   називають матрицею квадратичної форми  . У разі, якщо характеристика поля   не дорівнює 2, можна вважати, що матриця квадратичної форми симетрична, тобто  .

Позначивши   вектор-стовпець змінних   квадратичну форму можна записати у матричному виді:

 

Навпаки кожна симетрична матриця таким чином задає квадратичну форму.

Якщо квадратична форма визначена як квадратичне відображення на квадратичному просторі над полем характеристика якого не є рівною 2, то елементи матриці задаються значеннями асоційованої білінійної форми для деякого базису  :

 

Якщо   — деякий базис лінійного простору   то квадратична форма буде представлена як:

 

Якщо   деякий інший базис e   де   — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

 

Квадратичні форми називаються еквівалентними, якщо їх матриці пов'язані рівністю   для деякої невиродженої матриці  .

З формули   випливає, що визначник матриці квадратичної форми не є її інваріантом (тобто не зберігається при заміні базису, на відміну, наприклад, від матриці лінійного відображення), але її ранг є інваріантом. Таким чином, визначено поняття рангу квадратичної форми.

Якщо матриця квадратичної форми має повний ранг  , то квадратичну форму називають невиродженою, в іншому випадку - виродженою.

ПрикладиРедагувати

Квадратична форма від однієї змінної:

 

Квадратична форма від двох змінних:

 

Квадратична форма від трьох змінних:

 

Канонічна формаРедагувати

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд:  .

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа). Дана діагоналізація може бути не є диною

У випадку дійсних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі   рівні 1, -1 або 0. Для комплексних чисел n-арну квадратичну форму можна привести до діагонального виду де усі   рівні 1 або 0.

Для дійсних квадратичних форм виконується закон інерції Сильвестра: кількість нульових, додатних та від'ємних елементів   в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.

Означені дійсні квадратичні формиРедагувати

Квадратична форма   над полем дійсних чисел називається додатноозначеною (від'ємноозначеною) якщо  

Одним із важливих результатів про додатноозначені і від'ємноозначені матриці є критерій Сильвестра:

  • Квадратична форма є додатноозначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
  • Квадратичная форма є від'ємноозначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

ДжерелаРедагувати

ПосиланняРедагувати