Відкрити головне меню

Квадрати́чна фо́рма — однорідний многочлен другого степеня від однієї чи декількох змінних.

Ось приклади квадратичних форм від однієї, двох і трьох змінних:

Зміст

Канонічна формаРедагувати

Для довільної квадратичної форми існує базис, в якому її матриця є діагональною, а сама форма має канонічний вигляд:  .

Для приведення квадратичної форми до канонічного вигляду використовують метод виділення повних квадратів (метод Лагранжа).

Координатне представленняРедагувати

За аналогією з білінійними формами, можна розглядати квадратичну форму як відображення векторного простору   в скалярне поле  :

 
  • Якщо   — деякий базис лінійного простору   то квадратична форма буде представлена як:
 

де   — симетрична матриця з елементами  .

  • Якщо   деякий інший базис в   де   — невироджена матриця.

Тоді при переході до нового базису матриця квадратичної форми зміниться на конгруентну матрицю:

 

Пов'язані визначенняРедагувати

  • Симетричну білінійну форму A(x, y), називають полярною до квадратичної форми A(x, x).

Матриця білінійної форми збігається з матрицею полярної до неї білінійної форми в тому ж базисі.

Симетрична білінійна формаРедагувати

  • Маючи білінійну форму   можна отримати квадратичну форму підставивши   :
 
  • І навпаки, маючи квадратичну форму  , використавши правило паралелограма, отримаємо асоційовану з нею симетричну білінійну форму:
 

Критерій СильвестраРедагувати

  • Квадратична форма є додатньо визначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.
  • Квадратичная форма є від'ємно визначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому мінор порядку 1 — від'ємний.

Закон інерціїРедагувати

  • Закон інерції: кількість нульових, позитивних та негативних елементів   в діагональній матриці канонічної форми не залежить від обраного базису. Ці три числа називаються сигнатурою квадратичної форми.
  • Якщо на діагоналі наявні нульові елементи (отже, матриця має неповний ранг), то така квадратична форма називається виродженою.

ДжерелаРедагувати