Діагональна матриця

Діагональна матриця — квадратна матриця, всі недіагональні елементи якої дорівнюють нулю.

Більш формально, діагональною називають таку матрицю $A$, що $\forall i\neq j:a_{ij}=0$.

Можна також записати

$a_{ij}=a_{i}\delta _{ij}\,$,

де $\delta _{ij}$ — символ Кронекера.

Одинична матриця діагональна за визначенням.

Властивості

• Сума, добуток та обернена матриця(якщо існує) діагональних матриць є діагональною матрицею. Діагональні матриці утворюють підкільце в кільці симетричних матриць:
  • $\ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})+diag(b_{1},\ldots ,b_{n})=diag(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})$
  • $\ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})\cdot diag(b_{1},\ldots ,b_{n})=diag(a_{1}b_{1},\ldots ,a_{n}b_{n})$
  • $\ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})^{-1}=diag(a_{1}^{-1},\ldots ,a_{n}^{-1})$
• Визначник діагональної матриці дорівнює добутку всіх елементів головної діагоналі.
• В матриці $\ diag(a_{1},\ldots ,a_{n})$ власними значеннями є $\ a_{1},\ldots ,a_{n}$ з власними векторами $\ e_{1},\ldots ,e_{n}$.
• Достатньою умовою приведення матриці до діагонального вигляду є попарна відмінність всіх власних значень матриці.

Застосування

• Довільна квадратна матриця є подібною до діагональної матриці тоді і тільки тоді, коли в неї всі власні вектори лінійно незалежні. Такі матриці називають діагоналізовними.

Над полем дійсних чи комплексних чисел справедливі й такі твердження:

• відповідно до спектральної теореми довільна нормальна матриця унітарно подібна до діагональної матриці

$\forall A\;(AA^{*}=A^{*}A)\;\;\exists U(U^{*}=U^{-1}):\;\;UAU^{*}=D$

• відповідно до сингулярного представлення матриці для довільної матриці існують унітарні матриці U та V такі що матриця U*AV є діагональною з додатніми елементами

$\forall A\;\exists U,V(U^{*}=U^{-1},V^{*}=V^{-1}):\;\;U^{*}AV=D,D>0$

Див. також

• Теорія матриць
• Спектральна теорема
• Сингулярний розклад матриці
• Нормальна матриця
• Унітарна матриця

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)