Лінійно незалежні вектори
(Перенаправлено з Лінійна незалежність)
Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) — множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.
Визначення
ред.Якщо векторний простір над полем і множина векторів .
- називається лінійно незалежною, якщо будь-яка його скінченна підмножина є лінійно незалежною.
- Скінченна множина називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нулю тільки в тривіальному випадку, тобто:
- Якщо існує така лінійна комбінація векторів рівна нулю з хоча б одним , то називається лінійно залежною.
Властивості
ред.- Якщо , то є лінійно залежна.
- Якщо лінійно незалежна, то лінійно незалежна для всіх .
- Якщо лінійно залежна, то лінійно залежна для всіх .
Застосування
ред.- Система лінійних алгебраїчних рівнянь має однозначний розв'язок тоді і тільки тоді, коли стовпці її матриці є лінійно незалежними.
- Ранг матриці дорівнює кількості її лінійно незалежних рядків чи стовпців.
- Базис векторного простору також є множиною лінійно незалежних векторів.
- Геометричний зміст:
- Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
- Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.
Джерела
ред.- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — ISBN 5791300158.(рос.)
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)