Ранг (лінійна алгебра)

Ранг матриці — порядок найбільших відмінних від нуля мінорів цієї матриці (такі мінори називаються базисними).

Ранг системи векторів — найбільше число лінійно-незалежних векторів з цієї системи.

Зазвичай ранг матриці $A$ позначається $\operatorname {rg} A$ або $\operatorname {rank} A$.

• Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці (перестановці рядків або стовпців, множенні рядка або стовпця на відмінне від нуля число і при додаванні рядків або стовпців).

• Теорема про базисний мінор: Рядки ненульової матриці, на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

• Теорема про ранг матриці: Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцям збігається з рангом по рядкам.

• Теорема Кронекера-Капеллі: Система лінійних рівнянь має розв'язок тоді і тільки тоді, коли ранг матриці, складеної з коефіцієнтів при невідомих, не змінюється при додаванні до неї стовпця вільних членів (розширена матриця). Цей розв'язок єдиний, якщо цей ранг матриці дорівнює кількості невідомих.

Ранг $\ r$ матриці розмірності $\ m\times n$ називають повним, якщо $\ r=\min(m,n)$.

Система векторів має повний ранг, якщо вектори лінійно незалежні.

Обчислення рангу матриці

Основними методами обчислення рангу матриці є методи оточення мінорів (теоретичний) і метод елементарних перетворень (практичний).

Метод оточення мінорів полягає в тому, що в ненульовій матриці шукається довільний базисний мінор.

Метод елементарних перетворень полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень знаходиться деяка максимальна лінійно незалежна система рядків матриці. Можливо із зведенням матриці до трикутного вигляду (метод Гауса).

Властивості

• Тільки нульова матриця має нульовий ранг.
• $\operatorname {rank} (A)\leq \min(m,n).$
• $\operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} \ A,\operatorname {rank} \ B).$

Див. також

• Теорія матриць
• Визначник матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
• Ланкастер П. Теория матриц. — Москва : Наука, 1973. — 280 с.(рос.)
• Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
• Ранг матриці та способи його обчислення // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 19-23. — 594 с.