Подібні матриці
Квадратні матриці називаються подібними, якщо існує невироджена матриця (називається матрицею переходу), що виконується :
- Відношення подібності матриць є відношенням еквівалентності.
- Критерієм подібності двох матриць є збіг усіх їх власних значень.
Властивості
ред.У подібних матриць багато характеристик збігаються, а саме:
- визначник матриці;
- ранг матриці;
- слід матриці;
- характеристичний многочлен ;
- мінімальний многочлен
- власні значення (хоча, власні вектори можуть бути різними);
- отже, якщо квадратна матриця розміру n, подібна до деякої діагональної матриці, то вона має n лінійно незалежних власних векторів.
Канонічна форма лінійного перетворення
ред.Подібні матриці описують одне і теж лінійне перетворення простору в різних базисах. Перехід від одного базиса до іншого задається матрицею переходу
Щоб спростити задання лінійного перетворення, шукають базис в якому матриця діагональна. Але не всі матриці є подібними до деякої діагональної матриці, хоча комплексні нормальні матриці та дійсні симетричні матриці — подібні.
Спектральна теорема стверджує, що довільна нормальна матриця унітарно-подібна до деякої діагональної матриці.
Існують також складніші канонічні форми матриць, до яких довільна матриця може бути приведена перетворенням подібності:
Див. також
ред.Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)