Обернена матриця

Обернена матриця — матриця (позначається $\ A^{-1}$ ), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці $\ A$ , розмірності $\ n\times n$ , причому:

\ AA^{-1}=A^{-1}A=I_{n}

де $\ I_{n}$ одинична $\ n\times n$ матриця.

Якщо для матриці $\ A$ існує $\ A^{-1}$ , то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.

Властивості

$(\mathbf {A} ^{-1})^{-1}=\mathbf {A}$ — операція обернення є інволюцією.
$(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }$ — обернення транспонованої матриці
$(\mathbf {A} ^{*})^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{*}$ — обернення спряженої матриці
$(k\mathbf {A} )^{-1}=k^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$ для довільного коефіцієнта $k\not =0.$
$(\mathbf {AB} )^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}$
$\det(\mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )^{-1}$ — визначник оберненої матриці.
$\operatorname {rang} (A)=n$ — ранг матриці дорівнює розміру матриці.
Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь $Ax=b$ , (b — ненульовий вектор) і $A^{-1}$ існує, тоді $x=A^{-1}b$ . В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.