Обернена матриця
Обернена матриця — матриця (позначається ), яка існує для кожної невиродженої квадратної матриці, розмірності , причому:
де одинична матриця.
Якщо для матриці існує , то така матриця називається оборотною, тобто кожна невироджена матриця є оборотною, і навпаки — кожна оборотна матриця є невиродженою.
Властивості
ред.- — операція обернення є інволюцією.
- — обернення транспонованої матриці
- — обернення спряженої матриці
- для довільного коефіцієнта
- — визначник оберненої матриці.
- — ранг матриці дорівнює розміру матриці.
- Власні вектори матриці та її оберненої — збігаються, а власні значення є оберненими.
- Якщо потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь , (b — ненульовий вектор) і існує, тоді . В протилежному випадку або розмірність простору розв'язків більше нуля, або їх немає зовсім.
Знаходження оберненої матриці
ред.Точні методи
ред.- де — союзна матриця.
Ітераційні методи
ред....
Приклади
ред.Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли .
Обернена матриця існує тоді і тільки тоді, коли .
Див. також
ред.Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 400+ с.(укр.)
- Р.Хорн , Ч.Джонсон . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Обернена матриця // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 24. — 594 с.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете допомогти проєкту, виправивши або дописавши її. |