Відкрити головне меню

АлгоритмРедагувати

  1. Обирається перша зліва колонка, що містить хоч одне ненульове значення.
  2. Якщо верхнє число у цій колонці - нуль, то обмінюється увесь перший рядок матриці з іншим рядком матриці, де у цій колонці нема нуля.
  3. Усі елементи першого рядка діляться на верхній елемент обраної колонки.
  4. Від рядків, що залишились, віднімається перший рядок, помножений на перший елемент відповідного рядка, з метою отримання нуля в першому елементі кожного рядка (крім першого).
  5. Далі, повторюємо ці операції із матрицею, отриманою з початкової матриці після викреслювання першого рядка та першого стовпчика.
  6. Після повторення операцій n-1 разів отримаємо верхню трикутну матрицю.
  7. Віднімаємо від передостаннього рядка останній рядок, помножений на відповідний коефіцієнт, щоб у передостанньому рядку залишилась лише 1 на головній діагоналі.
  8. Повторюємо попередній крок для наступних рядків. У результаті отримуємо одиничну матрицю і рішення на місці вільного вектора (над ним необхідно виконувати ті самі перетворення).

Розгорнутий алгоритм для знаходження оберненої матриціРедагувати

Нехай дано:
 

Прямий хід (алгоритм утворення нулів під головною діагоналлю)Редагувати

  • Поділимо перший рядок матриці А на   отримаємо:  , j – стовпець матриці А.
  • Повторюємо дії для матриці I , за формулою:  , s – стовпець матриці I

Отримаємо:
 

  • Будемо утворювати 0 у першому стовбці :  .
  • Повторюємо дії для матриці І, за формулами :  

Отримаємо:
 

  • Продовжуємо виконувати аналогічні операції використовуючи формули :  

при умові, що  

  • Повторюємо дії для матриці І, за формулами :  

при умові, що  
Отримаємо :
 

Зворотній хід (алгоритм утворення нулів над головною діагоналлю)Редагувати

Використаємо формулу:  , при умові, що  
Повторюємо дії для матриці І, за формулою  : , при умові, що  

Остаточно отримуємо :
 

ПрикладРедагувати

Розв'яжемо систему рівнянь:

 

Запишемо її у вигляді матриці 3×4, де останній стовпчик є вільним членом:

 

Виконаємо такі дії:

  • До рядка 2 додамо: -4 * рядок 1.
  • До рядка 3 додамо: -9 * рядок 1.

Отримаємо:

 
  • До рядка 3 додамо: -3 * рядок 2.
  • Рядок 2 ділимо на -2
 
  • До рядка 1 додамо: -1 * рядок 3.
  • До рядка 2 додамо: -3/2 * рядок 3.
 
  • До рядка 1 додамо: -1 * рядок 2.
 

У правому стовпчику отримаємо рішення:

  .

ДжерелаРедагувати

ПосиланняРедагувати